隐含马尔可夫模型校准（Hidden Markov Model Calibration）

隐含马尔可夫模型（HMM）校准是金融数学中一项重要的参数估计技术。让我们从基础概念开始，逐步深入理解其完整框架：

1. 隐含马尔可夫模型的基本结构

   • HMM包含两个随机过程：不可观测的隐含状态序列和可观测的输出序列
   • 隐含状态遵循马尔可夫过程，即下一状态仅依赖于当前状态
   • 每个隐含状态对应特定的观测值分布，观测值条件独立于其他状态
   • 模型参数包括：初始状态分布π、状态转移矩阵A、观测概率矩阵B

2. 金融应用中的观测变量选择

   • 在金融市场中，观测变量可以是资产收益率、波动率、交易量等
   • 隐含状态通常表示市场机制，如"牛市"、"熊市"、"震荡市"
   • 不同状态下，金融时间序列表现出不同的统计特性
   • 观测概率分布常假设为正态分布或t分布，以捕捉厚尾特征

3. 鲍姆-韦尔奇算法（前向-后向算法）

   • 这是HMM校准的核心算法，属于期望最大化（EM）算法的一种特例
   • 前向算法：计算给定参数下观测序列的概率P(O|λ)
   • 后向算法：计算从某时刻开始剩余观测序列的概率
   • 通过迭代更新参数(π,A,B)，使观测序列的似然函数值单调递增

4. 前向变量计算细节

   • 定义前向变量αₜ(i) = P(O₁,O₂,...,Oₜ,qₜ = Sᵢ|λ)
   • 初始化：α₁(i) = πᵢbᵢ(O₁)
   • 递推：αₜ₊₁(j) = [Σᵢ αₜ(i)aᵢⱼ]bⱼ(Oₜ₊₁)
   • 终止：P(O|λ) = Σᵢ αₜ(i)

5. 后向变量计算细节

   • 定义后向变量βₜ(i) = P(Oₜ₊₁,Oₜ₊₂,...,Oₜ|qₜ = Sᵢ,λ)
   • 初始化：βₜ(i) = 1
   • 递推：βₜ(i) = Σⱼ aᵢⱼbⱼ(Oₜ₊₁)βₜ₊₁(j)
   • 观测序列概率也可表示为P(O|λ) = Σᵢ πᵢbᵢ(O₁)β₁(i)

6. 参数重估公式

   • 定义ξₜ(i,j) = P(qₜ = Sᵢ, qₜ₊₁ = Sⱼ|O,λ)：在时刻t处于状态i且时刻t+1处于状态j的概率
   • 定义γₜ(i) = P(qₜ = Sᵢ|O,λ)：在时刻t处于状态i的概率
   • 状态转移概率重估：âᵢⱼ = Σₜ ξₜ(i,j) / Σₜ γₜ(i)
   • 观测概率参数重估取决于分布假设，如高斯分布时更新均值和方差

7. 初始状态分布更新

   • 初始状态概率重估：π̂ᵢ = γ₁(i)
   • 这表示初始状态分布由第一个时间点的状态后验概率决定
   • 在金融应用中，初始状态通常假设为平稳分布，提高校准稳定性

8. 数值稳定性处理

   • 前向-后向算法存在数值下溢问题，需采用对数尺度或缩放技术
   • 缩放系数cₜ = 1 / Σᵢ αₜ(i)，确保缩放后的前向变量和为1
   • 对数似然函数计算：log P(O|λ) = -Σₜ log cₜ

9. 模型选择与验证

   • 确定最优状态数：通过赤池信息准则(AIC)或贝叶斯信息准则(BIC)
   • 样本外测试：将数据分为训练集和测试集，评估模型泛化能力
   • 残差分析：检查标准化残差是否满足独立同分布假设

10. 金融实践中的特殊考虑

    • 处理非平稳性：对金融时间序列进行差分或去趋势处理
    • 机制持续性：金融状态通常具有持续性，表现为状态转移矩阵对角线元素较大
    • 多资产扩展：将单变量HMM推广到多变量情况，捕捉资产间的联动机制转换