量子力学中的路径积分 我将循序渐进地讲解量子力学中的路径积分（Path Integral）概念，这是由费曼发展的量子力学表述形式。 经典力学与量子力学的联系 在经典力学中，粒子沿确定轨迹运动，满足最小作用量原理。但在量子力学中，粒子不再有单一确定路径。费曼提出，量子粒子实际上会同时经历所有可能路径，每条路径对总概率幅都有贡献。 概率幅与传播子 量子系统的演化由概率幅描述。从初始态|qᵢ,tᵢ⟩到末态|q_ f,t_ f⟩的传播子K(q_ f,t_ f; qᵢ,tᵢ)给出系统在两个时空点间演化的概率幅。在薛定谔绘景中，这对应于⟨q_ f|e^{-iH(t_ f-tᵢ)/ℏ}|qᵢ⟩。 时间切片方法 费曼将有限时间区间[ tᵢ,t_ f]分割为N个等分小区间Δt = (t_ f-tᵢ)/N。在每个时间切片t_ j处，插入位置算符的完备性关系∫dq_ j|q_ j,t_ j⟩⟨q_ j,t_ j| = 1，将传播子表示为多重积分形式。 路径积分的数学表达 当时间切片数N→∞时，传播子可写为： K(q_ f,t_ f; qᵢ,tᵢ) = ∫D[ q(t)] exp{(i/ℏ)S[ q(t) ]} 其中D[ q(t)]表示对所有连接(qᵢ,tᵢ)和(q_ f,t_ f)的路径q(t)的泛函积分，S[ q(t) ] = ∫L(q,ḡ,t)dt是沿每条路径的经典作用量。 高斯积分与自由粒子情形 对于自由粒子（L = mẋ²/2），路径积分可精确计算。通过变量代换和完成平方，得到与薛定谔方程完全一致的传播子： K_ free = [ m/(2πiℏ(t_ f-tᵢ))]^(1/2) exp{im(q_ f-qᵢ)²/[ 2ℏ(t_ f-tᵢ) ]} 微扰理论与泛函方法 对于包含势能项V(x)的系统，路径积分可展开为微扰级数。通过引入外场源项，路径积分生成泛函成为计算关联函数和散射振幅的有力工具。 欧几里得化与统计力学 通过威克转动t→-iτ，将时间变为虚数，路径积分中的指数因子变为exp{-S_ E/ℏ}，这与统计力学中的配分函数形式相同，建立了量子场论与统计物理的深刻联系。