本性有界函数的L^p空间逼近性质 我们先从基本概念开始。 本性有界函数 是指存在某个常数M，使得函数在测度意义下几乎处处不超过M。更精确地说，如果存在M≥0，使得μ({x: |f(x)| > M}) = 0，则称f是本性有界的。 接下来考虑 L^p空间 。对于1≤p<∞，L^p空间由所有满足∫|f|^p dμ < ∞的可测函数构成。当p=∞时，L^∞空间就是所有本性有界函数构成的空间。 现在我们来理解 逼近 的含义。在实变函数中，我们经常希望用性质较好的函数来逼近一般的函数。对于本性有界函数，一个重要的逼近性质是：任何L^∞中的函数都可以被有界连续函数在某种意义下逼近。 具体来说，设f∈L^∞(μ)，其中μ是Radon测度。那么存在一列有界连续函数{f_ n}，使得： 每个f_ n都是一致有界的 f_ n在几乎处处意义下收敛到f 如果f还是可积的，那么f_ n在L^p范数下也收敛到f（对1≤p <∞） 这个逼近性质的证明通常依赖于以下步骤： 首先考虑简单函数的逼近 然后利用Lusin定理将可测函数用连续函数逼近 最后通过截断和正则化技术得到所需的有界连续函数序列 这个性质在偏微分方程、泛函分析和概率论中都有重要应用，特别是在研究算子的有界性和函数的正则性时。