环的局部化 我们先从环和乘闭子集的定义开始。一个环（这里总假设是含幺交换环）是一个装备了加法与乘法的代数结构，满足通常的运算律。一个乘闭子集 S 是环 R 的一个子集，满足： 1 ∈ S； 如果 a, b ∈ S，则 ab ∈ S。 局部化的目标是在保持环的某些性质的同时，将 S 中的元素都变成可逆元。构造如下：考虑集合 R × S，并定义等价关系 (r, s) ∼ (r', s') 当且仅当存在 t ∈ S 使得 t(rs' - r's) = 0。等价类记作 r/s，所有等价类组成的集合记为 S⁻¹R。在 S⁻¹R 上定义加法和乘法： (r/s) + (r'/s') = (rs' + r's)/(ss') (r/s) · (r'/s') = (rr')/(ss') 这使得 S⁻¹R 成为一个环，称为 R 在 S 处的局部化。 局部化环 S⁻¹R 有一个自然的环同态 ι: R → S⁻¹R，定义为 ι(r) = r/1。这个同态将 S 中的元素映成单位：若 s ∈ S，则 ι(s) = s/1 的逆是 1/s。局部化满足如下的万有性质：对任意环同态 f: R → A，如果 f(S) ⊆ A×（A 的单位群），则存在唯一的环同态 g: S⁻¹R → A 使得 f = g ∘ ι。 局部化的一个重要特例是当 S = R \ p，其中 p 是 R 的一个素理想。此时记 S⁻¹R 为 R_ p，称为 R 在素理想 p 处的局部化。R_ p 是一个局部环，即它有唯一的极大理想 p R_ p = { r/s : r ∈ p, s ∉ p }。局部环在很多代数与几何问题中非常基本，例如在代数几何中，一个仿射簇在某点的局部环反映了该点的局部几何性质。 另一个重要例子是分式域：若 R 是整环，取 S = R\{0}，则 S⁻¹R 就是 R 的分式域。更一般地，若 f ∈ R，取 S = {1, f, f², ...}，则记 S⁻¹R = R_ f，这在几何上对应于对主开集 D(f) 的考虑。 局部化具有很好的函子性：若 φ: R → R' 是环同态，S ⊆ R 是乘闭子集且 φ(S) ⊆ R' 中可逆，则存在唯一的同态 S⁻¹R → R' 扩展 φ。特别地，若 S ⊆ T 都是 R 的乘闭子集，则有典范同态 S⁻¹R → T⁻¹R。 局部化与理想有密切关系：对 R 的理想 I，扩展理想 I(S⁻¹R) = { i/s : i ∈ I, s ∈ S } 是 S⁻¹R 的理想。反之，对 S⁻¹R 的理想 J，收缩理想 J ∩ R = { r ∈ R : r/1 ∈ J } 是 R 的理想。这给出了 R 中与 S 不相交的理想（即 I ∩ S = ∅）与 S⁻¹R 中理想之间的一一对应，特别地，将 R 的素理想 p（满足 p ∩ S = ∅）映成 S⁻¹R 的素理想 p(S⁻¹R)，并且这是包含关系保持的双射。 局部化是正合函子：若 M 是 R-模，则可类似定义 S⁻¹M = { m/s : m ∈ M, s ∈ S } 为 S⁻¹R-模。函子 M ↦ S⁻¹M 是正合的，即若 0 → M' → M → M'' → 0 是模的短正合序列，则 0 → S⁻¹M' → S⁻¹M → S⁻¹M'' → 0 也是正合的。这一性质在局部-整体的讨论中至关重要，例如在层论和同调代数中。 最后，局部化与局部性质紧密相关：一个 R-模 M 为零当且仅当对所有极大理想 m，局部化 M_ m = 0。类似地，一个 R-模同态 f: M → N 是单（满）同态当且仅当对所有极大理想 m，局部化 f_ m: M_ m → N_ m 是单（满）同态。这允许我们将许多问题化归到局部环上研究，而局部环通常有更简单的结构。