广义函数空间上的卷积运算 我们先从经典函数空间中的卷积概念开始。在数学分析中，两个函数f和g的卷积定义为： (f∗g)(x) = ∫f(x-y)g(y)dy 这个运算具有良好的性质，比如交换律、结合律，以及关于微分运算的可交换性。 然而，在广义函数理论中，我们面临一个基本问题：如何定义两个广义函数的卷积？因为广义函数本身不是点定义的，传统积分的定义方式不再适用。 为了解决这个问题，我们需要引入测试函数空间的概念。设φ是速降函数空间S(Rⁿ)中的测试函数，对于两个广义函数T和S，我们希望定义它们的卷积T∗S，使得它仍然是一个广义函数。 卷积运算的精确定义需要满足以下条件： (T∗S)(φ) = Tₓ[ Sᵧ(φ(x+y)) ] 其中下标x,y表示作用变量。这个定义要求其中一个广义函数具有紧支集，或者两个广义函数满足一定的衰减条件。 特别重要的是，当其中一个广义函数是光滑函数时，卷积运算可以简化为： (T∗f)(x) = T(τₓf̃) 其中τₓ是平移算子，f̃是f的反射函数。 卷积运算在广义函数理论中具有重要性质： 支持集满足：supp(T∗S) ⊆ supp T + supp S 与微分运算可交换：Dᵅ(T∗S) = (DᵅT)∗S = T∗(DᵅS) 与平移运算可交换：τₕ(T∗S) = (τₕT)∗S = T∗(τₕS) 在缓增分布空间S'(Rⁿ)中，卷积运算需要更仔细的处理。如果T是缓增分布，S是具有紧支集的分布，那么T∗S是良定义的，并且仍然是缓增分布。 卷积运算在偏微分方程理论中有着重要应用。例如，基本解的概念就建立在卷积的基础上：如果E是微分算子P(D)的基本解，即P(D)E = δ，那么方程P(D)u = f的解可以表示为u = E∗f。 最后需要指出的是，并非任意两个广义函数都可以进行卷积运算。卷积运算的可行性取决于两个广义函数的支集性质和衰减特性，这导致了各种卷积代数结构的研究。