量子力学中的Wigner-Eckart定理
字数 2564 2025-11-25 20:04:27

量子力学中的Wigner-Eckart定理

  1. 张量算符的引入
    在量子力学中，物理系统的对称性（如旋转对称性）由群论描述。当系统具有旋转对称性时，角动量算符 \(\hat{J}_z\) 和 \(\hat{J}^2\) 与哈密顿量对易，导致能级简并。张量算符是一类在对称变换下具有特定性质的算子。具体地，k阶球张量算符 \(\hat{T}^{(k)}_q\)（其中 \(q = -k, -k+1, \dots, k\)）在旋转下满足：

\[ [\hat{J}_z, \hat{T}^{(k)}_q] = \hbar q \hat{T}^{(k)}_q, \quad [\hat{J}_\pm, \hat{T}^{(k)}_q] = \hbar \sqrt{k(k+1) - q(q\pm1)} \hat{T}^{(k)}_{q\pm1}. \]

例如，电偶极矩算符是1阶张量，四极矩算符是2阶张量。这些算符在角动量本征态之间的矩阵元需同时满足对称性和选择定则。

  1. 角动量耦合与Clebsch-Gordan系数
    角动量本征态 \(|j m\rangle\) 满足 \(\hat{J}^2 |j m\rangle = \hbar^2 j(j+1) |j m\rangle\) 和 \(\hat{J}_z |j m\rangle = \hbar m |j m\rangle\)。当系统由两个角动量 \(\mathbf{J}_1\) 和 \(\mathbf{J}_2\) 耦合时，总角动量态 \(|J M\rangle\) 可通过Clebsch-Gordan系数展开：

\[ |J M\rangle = \sum_{m_1, m_2} \langle j_1 m_1, j_2 m_2 | J M \rangle |j_1 m_1\rangle |j_2 m_2\rangle. \]

Clebsch-Gordan系数 \(\langle j_1 m_1, j_2 m_2 | J M \rangle\) 是实数，且仅在 \(M = m_1 + m_2\) 和 \(|j_1 - j_2| \leq J \leq j_1 + j_2\) 时非零。它们体现了角动量叠加的几何约束，是Wigner-Eckart定理的核心组成部分。

  1. Wigner-Eckart定理的表述
    Wigner-Eckart定理指出：k阶球张量算符 \(\hat{T}^{(k)}_q\) 在角动量本征态 \(|\alpha j m\rangle\) 和 \(|\beta j' m'\rangle\)（其中 \(\alpha, \beta\) 标记其他量子数）间的矩阵元可分解为几何部分和物理部分：

\[ \langle \alpha j m | \hat{T}^{(k)}_q | \beta j' m' \rangle = \langle j' m' k q | j m \rangle \frac{\langle \alpha j \| \hat{T}^{(k)} \| \beta j' \rangle}{\sqrt{2j+1}}. \]

这里：

  • \(\langle j' m' k q | j m \rangle\) 是Clebsch-Gordan系数，完全由角动量量子数决定，包含矩阵元对磁量子数 \(m, m', q\) 的依赖。
  • \(\langle \alpha j \| \hat{T}^{(k)} \| \beta j' \rangle\) 称为约化矩阵元，与 \(m, m', q\) 无关，仅取决于 \(\alpha, \beta, j, j', k\) 等物理量。
    该分解将矩阵元的计算简化为求约化矩阵元，再利用对称性关系确定不同磁量子数对应的矩阵元。
  1. 定理的证明思路
    证明基于角动量算符与张量算符的对易关系。考虑态 \(\hat{T}^{(k)}_q |\beta j' m'\rangle\)，其可按角动量本征态展开：

\[ \hat{T}^{(k)}_q |\beta j' m'\rangle = \sum_{J M} C_{J M} |\psi_{J M}\rangle, \]

其中 \(|\psi_{J M}\rangle\) 是总角动量本征态。通过计算 \(\hat{J}_z\) 和 \(\hat{J}_\pm\) 的作用，可证明展开系数与Clebsch-Gordan系数成比例。具体地，利用算符的变换性质和Clebsch-Gordan系数的正交性，可得矩阵元正比于 \(\langle j' m' k q | j m \rangle\)，比例常数即为约化矩阵元。

  1. 应用示例：原子光谱选择定则
    在原子物理中，电偶极跃迁算符 \(\hat{D}_q\)（1阶张量）的矩阵元决定光谱强度。根据Wigner-Eckart定理：

\[ \langle \alpha j m | \hat{D}_q | \beta j' m' \rangle \propto \langle j' m' 1 q | j m \rangle. \]

Clebsch-Gordan系数的非零条件给出选择定则：

  • \(\Delta j = j - j' = 0, \pm 1\)（但 \(j = j' = 0\) 禁止），
  • \(\Delta m = m - m' = q = 0, \pm 1\)。
    例如，在钠D线跃迁中，\(3p \to 3s\) 的谱线强度可通过约化矩阵元计算，而不同偏振光对应的跃迁概率由Clebsch-Gordan系数直接确定。
  1. 广义意义与扩展
    Wigner-Eckart定理不仅适用于旋转对称性，还可推广至其他李群（如SU(N)）。在核物理和粒子物理中，它用于计算跃迁概率和散射振幅，简化包含对称性的复杂计算。定理的核心价值在于将物理问题分解为对称性（几何部分）和动力学（约化矩阵元）两部分，体现了对称性在量子力学中的核心作用。
量子力学中的Wigner-Eckart定理 张量算符的引入 在量子力学中，物理系统的对称性（如旋转对称性）由群论描述。当系统具有旋转对称性时，角动量算符 \( \hat{J}_ z \) 和 \( \hat{J}^2 \) 与哈密顿量对易，导致能级简并。张量算符是一类在对称变换下具有特定性质的算子。具体地，k阶球张量算符 \( \hat{T}^{(k)}_ q \)（其中 \( q = -k, -k+1, \dots, k \)）在旋转下满足： \[ [ \hat{J}_ z, \hat{T}^{(k)}_ q] = \hbar q \hat{T}^{(k)} q, \quad [ \hat{J} \pm, \hat{T}^{(k)} q] = \hbar \sqrt{k(k+1) - q(q\pm1)} \hat{T}^{(k)} {q\pm1}. \] 例如，电偶极矩算符是1阶张量，四极矩算符是2阶张量。这些算符在角动量本征态之间的矩阵元需同时满足对称性和选择定则。 角动量耦合与Clebsch-Gordan系数 角动量本征态 \( |j m\rangle \) 满足 \( \hat{J}^2 |j m\rangle = \hbar^2 j(j+1) |j m\rangle \) 和 \( \hat{J}_ z |j m\rangle = \hbar m |j m\rangle \)。当系统由两个角动量 \( \mathbf{J}_ 1 \) 和 \( \mathbf{J} 2 \) 耦合时，总角动量态 \( |J M\rangle \) 可通过Clebsch-Gordan系数展开： \[ |J M\rangle = \sum {m_ 1, m_ 2} \langle j_ 1 m_ 1, j_ 2 m_ 2 | J M \rangle |j_ 1 m_ 1\rangle |j_ 2 m_ 2\rangle. \] Clebsch-Gordan系数 \( \langle j_ 1 m_ 1, j_ 2 m_ 2 | J M \rangle \) 是实数，且仅在 \( M = m_ 1 + m_ 2 \) 和 \( |j_ 1 - j_ 2| \leq J \leq j_ 1 + j_ 2 \) 时非零。它们体现了角动量叠加的几何约束，是Wigner-Eckart定理的核心组成部分。 Wigner-Eckart定理的表述 Wigner-Eckart定理指出：k阶球张量算符 \( \hat{T}^{(k)}_ q \) 在角动量本征态 \( |\alpha j m\rangle \) 和 \( |\beta j' m'\rangle \)（其中 \( \alpha, \beta \) 标记其他量子数）间的矩阵元可分解为几何部分和物理部分： \[ \langle \alpha j m | \hat{T}^{(k)}_ q | \beta j' m' \rangle = \langle j' m' k q | j m \rangle \frac{\langle \alpha j \| \hat{T}^{(k)} \| \beta j' \rangle}{\sqrt{2j+1}}. \] 这里： \( \langle j' m' k q | j m \rangle \) 是Clebsch-Gordan系数，完全由角动量量子数决定，包含矩阵元对磁量子数 \( m, m', q \) 的依赖。 \( \langle \alpha j \| \hat{T}^{(k)} \| \beta j' \rangle \) 称为约化矩阵元，与 \( m, m', q \) 无关，仅取决于 \( \alpha, \beta, j, j', k \) 等物理量。 该分解将矩阵元的计算简化为求约化矩阵元，再利用对称性关系确定不同磁量子数对应的矩阵元。 定理的证明思路 证明基于角动量算符与张量算符的对易关系。考虑态 \( \hat{T}^{(k)} q |\beta j' m'\rangle \)，其可按角动量本征态展开： \[ \hat{T}^{(k)} q |\beta j' m'\rangle = \sum {J M} C {J M} |\psi_ {J M}\rangle, \] 其中 \( |\psi_ {J M}\rangle \) 是总角动量本征态。通过计算 \( \hat{J} z \) 和 \( \hat{J} \pm \) 的作用，可证明展开系数与Clebsch-Gordan系数成比例。具体地，利用算符的变换性质和Clebsch-Gordan系数的正交性，可得矩阵元正比于 \( \langle j' m' k q | j m \rangle \)，比例常数即为约化矩阵元。 应用示例：原子光谱选择定则 在原子物理中，电偶极跃迁算符 \( \hat{D}_ q \)（1阶张量）的矩阵元决定光谱强度。根据Wigner-Eckart定理： \[ \langle \alpha j m | \hat{D}_ q | \beta j' m' \rangle \propto \langle j' m' 1 q | j m \rangle. \] Clebsch-Gordan系数的非零条件给出选择定则： \( \Delta j = j - j' = 0, \pm 1 \)（但 \( j = j' = 0 \) 禁止）， \( \Delta m = m - m' = q = 0, \pm 1 \)。 例如，在钠D线跃迁中，\( 3p \to 3s \) 的谱线强度可通过约化矩阵元计算，而不同偏振光对应的跃迁概率由Clebsch-Gordan系数直接确定。 广义意义与扩展 Wigner-Eckart定理不仅适用于旋转对称性，还可推广至其他李群（如SU(N)）。在核物理和粒子物理中，它用于计算跃迁概率和散射振幅，简化包含对称性的复杂计算。定理的核心价值在于将物理问题分解为对称性（几何部分）和动力学（约化矩阵元）两部分，体现了对称性在量子力学中的核心作用。