数学物理方程中的特征函数展开法 特征函数展开法是求解线性偏微分方程的重要方法，特别适用于有界区域上的边值问题。让我循序渐进地讲解这个方法的核心思想和发展过程。 第一步：从傅里叶级数到一般特征函数展开 您已经了解傅里叶级数可以将函数展开为正弦、余弦函数的线性组合。特征函数展开法是这一思想的推广： 在区间[ 0,L ]上，傅里叶正弦级数对应于特征值问题： $$y'' + λy = 0, \quad y(0)=y(L)=0$$ 特征值为$λ_ n = (nπ/L)^2$，特征函数为$y_ n(x) = \sin(nπx/L)$ 任意满足边界条件的函数可展开为：$f(x) = \sum_ {n=1}^∞ c_ n \sin(nπx/L)$ 第二步：斯图姆-刘维尔理论框架 更一般地，考虑斯图姆-刘维尔问题： $$(p(x)y')' + [ q(x) + λr(x)]y = 0, \quad a < x < b$$ 带有齐次边界条件。这里$r(x) > 0$是权函数。 该理论告诉我们： 存在可数无穷个特征值$λ_ 1 ≤ λ_ 2 ≤ ⋯ → ∞$ 对应特征函数${φ_ n(x)}$在加权内积$\langle f,g\rangle = ∫_ a^b f(x)g(x)r(x)dx$下正交 任何在区间上充分光滑的函数可展开为$f(x) = \sum_ {n=1}^∞ c_ n φ_ n(x)$，其中$c_ n = \frac{\langle f,φ_ n\rangle}{\langle φ_ n,φ_ n\rangle}$ 第三步：应用到偏微分方程求解 考虑波动方程的初边值问题： $$u_ {tt} = c^2 u_ {xx}, \quad 0 < x < L, t > 0$$ $$u(0,t) = u(L,t) = 0, \quad u(x,0) = f(x), u_ t(x,0) = g(x)$$ 求解步骤： 分离变量：设$u(x,t) = X(x)T(t)$，得到： $$X'' + λX = 0, \quad T'' + c^2λT = 0$$ 解特征值问题：$X_ n(x) = \sin(nπx/L)$，$λ_ n = (nπ/L)^2$ 对应的时间函数：$T_ n(t) = A_ n\cos(c\sqrt{λ_ n}t) + B_ n\sin(c\sqrt{λ_ n}t)$ 叠加解：$u(x,t) = \sum_ {n=1}^∞ [ A_ n\cos(c\sqrt{λ_ n}t) + B_ n\sin(c\sqrt{λ_ n}t) ]\sin(nπx/L)$ 用初值条件确定系数： $$A_ n = \frac{2}{L}∫_ 0^L f(x)\sin(nπx/L)dx$$ $$B_ n = \frac{2}{c\sqrt{λ_ n}L}∫_ 0^L g(x)\sin(nπx/L)dx$$ 第四步：收敛性与完备性 特征函数展开的数学基础是： 特征函数系在加权$L^2$空间中完备 展开式在均方意义下收敛到原函数 对于光滑函数，展开式一致收敛 特征函数的节点性质：第n个特征函数在区间内部恰有n-1个零点 第五步：高维情形与特殊坐标系 在矩形、圆形、球形等规则区域上，特征函数展开法可推广到高维： 矩形区域：特征函数为三角函数乘积 圆形区域：特征函数为贝塞尔函数与三角函数的组合 球形区域：特征函数为球贝塞尔函数与球谐函数的组合 这种方法将偏微分方程求解转化为特征值问题，再利用特征函数的完备性构造解，是数学物理方程理论中的核心方法之一。