生物数学中的基因表达随机热力学非平衡熵产生率模型 我们先从热力学第二定律在生物系统中的应用开始。在经典热力学中，熵产生率描述系统不可逆过程的耗散速率。对于基因表达这样的生物过程，系统通常处于非平衡态，因此我们需要引入随机热力学的框架。 第一步：非平衡热力学基础 在基因表达过程中，生化反应（如转录、翻译）不断消耗ATP/GTP，驱动系统远离平衡态。每个反应都有正向和反向速率，但净通量不为零。随机热力学将热力学量（如熵、功）定义为随机轨迹的函数，从而描述微观涨落。 第二步：基因表达随机模型构建 考虑一个简化的基因表达模型： 基因状态（激活/抑制）用马尔可夫过程描述 mRNA分子数用生灭过程建模 蛋白质合成与降解用随机微分方程表示 系统状态可记为向量X=(g,m,p)，其概率分布P(X,t)满足主方程。 第三步：熵产生率的随机热力学定义 在轨迹层面定义熵产生： ΔS_ tot = ln[ P(Γ)/P(Γ̃) ] 其中Γ是正向轨迹，Γ̃是时间反演轨迹。熵产生率σ=⟨dΔS_ tot/dt⟩，表征系统的不可逆性程度。对于基因表达，这主要来源于： 启动子状态切换的化学势差 mRNA/protein合成降解的化学驱动力 能量分子水解的自由能消耗 第四步：具体计算框架 通过主方程和局部细致平衡条件，可得： σ(t) = ∑_ {ij} J_ ij(t) F_ ij(t) 其中J_ ij是状态i→j的概率流，F_ ij是对应的广义热力学力。对于基因表达，主要贡献项包括： 转录激活能垒跨越 核糖体结合能消耗 降解过程的熵产生 第五步：生物意义解析 该模型可量化： 基因回路的最小能耗需求 噪声与能耗的权衡关系 调控效率的热力学极限 例如，研究发现启动子切换频率与熵产生率呈非线性关系，存在最优调控区间。 第六步：扩展应用 结合单细胞测序数据，可实证估计不同细胞类型的熵产生率分布，这为理解细胞分化、癌变等过程提供了新的热力学判据。最新进展还将该框架与信息论结合，探讨基因调控的信息-热力学代价。