二次型的西群 我们先从二次型的基本概念开始。设 \( V \) 是域 \( F \) 上的有限维向量空间，\( Q: V \to F \) 是一个二次型，即满足 \( Q(av) = a^2 Q(v) \) 对所有 \( a \in F, v \in V \)，且其极化形式 \( B_ Q(v, w) = Q(v+w) - Q(v) - Q(w) \) 是双线性型。 1. 正交群 二次型 \( Q \) 的正交群 \( O(Q) \) 定义为保持 \( Q \) 的线性自同构群： \[ O(Q) = \{ g \in \mathrm{GL}(V) \mid Q(gv) = Q(v), \, \forall v \in V \}. \] 当 \( Q \) 非退化时，\( O(Q) \) 是 \( \mathrm{GL}(V) \) 的闭子群（在代数群意义下）。 2. 克利福德代数与偶子群 为研究 \( O(Q) \) 的精细结构，需引入克利福德代数 \( C\ell(Q) \)。它是满足 \( v^2 = Q(v) \cdot 1 \) 的泛结合代数。偶克利福德代数 \( C\ell^0(Q) \) 是其偶次部分。 旋量范数 \( N: C\ell(Q)^\times \to F^\times \) 定义为 \( N(x) = x \cdot \gamma(x) \)，其中 \( \gamma \) 是主对合（分次对合）。 3. 偶正交群与旋量范数 偶正交群 \( SO(Q) \) 是 \( O(Q) \) 中行列式为 1 的元素子群（当 \( \mathrm{char}(F) \ne 2 \)）。旋量范数限制在 \( SO(Q) \) 上给出群同态： \[ \mathrm{sn}: SO(Q) \to F^\times / (F^\times)^2. \] 其核记为 \( \Omega(Q) \)，称为 偶半旋群 或 西群 （但更常用 \( \Omega(Q) \) 表示）。 4. 西群的精确构造 西群 \( \Omega(Q) \) 可定义为 \( SO(Q) \) 中旋量范数为 1 的元素子群： \[ \Omega(Q) = \{ g \in SO(Q) \mid \mathrm{sn}(g) = 1 \in F^\times / (F^\times)^2 \}. \] 它是 \( SO(Q) \) 的指数 1 或 2 的正规子群（取决于 \( F \) 与 \( Q \)）。 5. 例外情形与自同构 当 \( \dim V \ge 3 \) 且 \( Q \) 非退化，\( \Omega(Q) \) 通常是单群（除少数低维情形）。例如，\( F = \mathbb{R} \) 时 \( \Omega^n \) 是 \( SO(n) \) 的万有覆叠的单连通分支。 注 ：西群在不同文献中可能指 \( \Omega(Q) \) 或其射影化 \( P\Omega(Q) \)，后者是单群的重要来源（如有限单群分类中的正交型）。