复变函数的广义柯西积分公式
我们先从最基础的柯西积分公式开始回顾。设函数f(z)在区域D内解析，在闭区域\(\overline{D}\)上连续，z₀是D内任意一点，则有：
\[f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} dz \]
其中C是D的边界。
现在考虑推广的情况。如果被积函数在积分路径上出现高阶奇点，我们需要引入广义柯西积分公式。当被积函数具有\(\frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}}\)形式时，广义公式为：
\[f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} dz \]
这里n是正整数，\(f^{(n)}(z_0)\)表示f在z₀处的n阶导数。
这个公式的证明需要用到数学归纳法。当n=0时，就是基本的柯西积分公式。假设对n=k成立，对n=k+1的情况，我们可以通过对被积函数进行适当变形，利用导数定义和极限过程来证明。
更进一步的推广是考虑非整数阶的情况。这涉及到分数阶微积分的概念。对于分数阶导数，广义柯西积分公式可以写为：
\[D^\alpha f(z_0) = \frac{\Gamma(\alpha+1)}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{\alpha+1}} dz \]
其中α是任意复数，\(\Gamma(\cdot)\)是Gamma函数。
在实际应用中，当积分路径不是简单闭曲线，或者被积函数在路径上有多个奇点时，我们需要对公式进行相应的调整。这时常常需要将路径分解为若干段，分别处理每一段上的积分。
广义柯西积分公式的一个重要应用是研究解析函数的边界性质。通过选取特殊的积分路径，我们可以研究函数在边界附近的行为，这在边值问题的研究中特别有用。
此外，广义公式还为研究奇异积分算子和伪微分算子提供了理论基础。在这些更高级的应用中，积分核\((z - z_0)^{-\alpha-1}\)的各种性质需要仔细分析，包括它的奇性结构和渐近行为。