图的张量积与积图 图的张量积（又称直积、Kronecker积）是一种二元图运算，它通过两个图的顶点集和边集的笛卡尔积来构造新图。具体来说，给定两个图G和H，它们的张量积G × H的顶点集是V(G) × V(H)。两个顶点(u₁, v₁)和(u₂, v₂)在G × H中相邻当且仅当u₁与u₂在G中相邻且v₁与v₂在H中相邻。 积图的基本性质 顶点数：|V(G × H)| = |V(G)|·|V(H)| 边数：|E(G × H)| = 2|E(G)|·|E(H)| 正则性：若G是d₁-正则图，H是d₂-正则图，则G × H是d₁d₂-正则图 连通性：两个连通图的张量积不一定连通，当且仅当两个图都是二分图时可能不连通 张量积的谱特性 张量积的邻接矩阵特征值是原图特征值的乘积。具体来说，若λ是G的特征值，μ是H的特征值，则λμ是G × H的特征值。这个性质使得张量积在图谱理论研究中特别有用，可以构造具有特定谱性质的图。 与其他积图的关系 与笛卡尔积的区别：在笛卡尔积中，边要求在一个坐标中相邻而另一个坐标相同 与强积的关系：强积可以看作是张量积与笛卡尔积的并集 与字典序积的联系：字典序积保留了更多原图的结构信息 应用领域 图染色：张量积与图染色数有密切关系，Hedetniemi猜想（已证伪）曾是关于张量积染色数的著名猜想 图同态：张量积是研究图同态的核心工具 并行计算：在处理器互连网络设计中，张量积可用于构造复杂的网络拓扑 量子信息：在图态和量子纠缠研究中应用张量积结构 计算复杂性 判断张量积的简单图性质可能具有不同的计算复杂度： 判断连通性是多项式时间可解的 计算染色数、团数等参数通常是NP难的 同构测试在张量积上也有特殊的性质 张量积作为图运算的基本形式，为研究图的结构性质和组合优化问题提供了有力的工具，特别是在理解图参数如何通过积运算传递方面具有重要意义。