图的电阻距离与基尔霍夫指数 基础定义 在图中，若将每条边视为一个电阻为1欧姆的导体，则任意两顶点之间的 电阻距离 定义为它们之间的有效电阻。这一概念源于电网络理论，通过基尔霍夫定律计算。例如，在一条路径图中，相邻顶点的电阻距离为1，而非相邻顶点的电阻距离等于它们之间的边数。 基尔霍夫指数计算 基尔霍夫指数 （Kirchhoff Index）是图中所有顶点对之间的电阻距离之和。对于一个具有 \(n\) 个顶点的连通图，基尔霍夫指数 \(Kf(G)\) 可通过拉普拉斯矩阵的特征值计算：若拉普拉斯矩阵的特征值为 \(0 = \lambda_ 1 \leq \lambda_ 2 \leq \cdots \leq \lambda_ n\)，则 \(Kf(G) = n \sum_ {i=2}^{n} \frac{1}{\lambda_ i}\)。这一公式将电阻距离与图的谱理论紧密关联。 性质与扩展 电阻距离满足度量性质（非负性、对称性、三角不等式），但不同于最短路径距离。基尔霍夫指数反映了图的整体连通效率，常用于化学图论中分析分子结构的稳定性。例如，在树结构中，基尔霍夫指数与图的 Wiener 指数（最短路径距离之和）存在显式关系。