二次型的西尔韦斯特惯性定理

我将为你详细讲解二次型的西尔韦斯特惯性定理。这个定理描述了实二次型在合同变换下的不变量，是理解实二次型分类的核心结果。

1. 实二次型的基本概念
首先，一个实二次型是指系数为实数的n元二次齐次多项式：

\[Q(x_1,x_2,\cdots,x_n) = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j \]

其中\(a_{ij} = a_{ji} \in \mathbb{R}\)。这样的二次型可以唯一对应一个实对称矩阵\(A = (a_{ij})\)，使得\(Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A\mathbf{x}\)。

2. 合同变换与标准形
两个实对称矩阵\(A\)和\(B\)称为合同的，如果存在可逆矩阵\(C\)使得\(B = C^T A C\)。合同关系是等价关系，它将二次型通过非退化线性变换联系起来。

通过配方法或正交变换，任何实二次型都可以化为标准形：

\[Q = y_1^2 + \cdots + y_p^2 - y_{p+1}^2 - \cdots - y_{p+q}^2 \]

其中\(p+q\)是二次型的秩，\(p\)是正平方项的个数，\(q\)是负平方项的个数。

3. 惯性定理的表述
西尔韦斯特惯性定理指出：在实二次型的标准形中，正平方项的个数\(p\)和负平方项的个数\(q\)是合同不变量，即它们不依赖于将二次型化为标准形的方法。

这意味着：

• 正惯性指数\(p\)是唯一确定的
• 负惯性指数\(q\)是唯一确定的
• 符号差\(s = p - q\)也是唯一确定的
• 零项的个数\(r - (p+q)\)（其中\(r\)是秩）也是确定的

4. 惯性定理的证明思路
定理的证明基于以下关键观察：
假设同一个二次型有两个不同的标准形：

\[y_1^2 + \cdots + y_p^2 - y_{p+1}^2 - \cdots - y_{p+q}^2 \]

\[z_1^2 + \cdots + z_{p'}^2 - z_{p'+1}^2 - \cdots - z_{p'+q'}^2 \]

如果\(p > p'\)，考虑在子空间\(y_1 = \cdots = y_p = 0\)和\(z_{p'+1} = \cdots = z_{p'+q'} = 0\)的交集上，这个交集非空（由维数公式保证）。在这个交集的非零向量上，第一个表达式给出非正值，第二个表达式给出非负值，矛盾。因此\(p = p'\)，同理\(q = q'\)。

5. 惯性定理的几何解释
从几何角度看，惯性定理告诉我们：

• 正惯性指数\(p\)对应于二次型在某个极大子空间上正定的维数
• 负惯性指数\(q\)对应于二次型在某个极大子空间上负定的维数
• 二次型对应的二次曲面（如椭球面、双曲面等）的类型由\((p,q)\)完全决定

6. 惯性定理的应用
惯性定理在数学和物理中有广泛应用：

• 在多元函数极值判断中，通过Hessian矩阵的正负惯性指数判断临界点类型
• 在相对论中，闵可夫斯基时空的度量符号\((3,1)\)或\((1,3)\)就是惯性指数的体现
• 在优化理论中，判断二次规划问题的凸性
• 在微分几何中，研究黎曼度量和伪黎曼度量

这个定理之所以重要，是因为它给出了实二次型在最一般合同变换下的完全不变量系统，为理解实二次型的几何和代数性质提供了坚实基础。