可测函数的本质收敛
字数 1678 2025-11-25 11:38:09

可测函数的本质收敛

我们先从本质收敛的基本定义开始。设 \((X, \mathcal{F}, \mu)\) 是一个测度空间，\(f\) 和 \(f_n\)（\(n \in \mathbb{N}\)）是定义在 \(X\) 上的扩展实值可测函数。

  1. 本质收敛的定义
    称序列 \(\{f_n\}\) 本质收敛 到 \(f\)，如果存在一个零测集 \(N \subset X\)（即 \(\mu(N) = 0\)），使得在 \(X \setminus N\) 上，\(f_n(x) \to f(x)\) 逐点成立。换句话说，除了一个零测集外，\(f_n\) 处处收敛到 \(f\)。
    这实际上是“几乎处处收敛”的另一种表述，两者是等价的。

  2. 本质收敛与几乎处处收敛的关系
    在测度论中，“几乎处处收敛”和“本质收敛”是同一概念的不同名称。它们都描述的是：存在一个零测集 \(N\)，在 \(N\) 的补集上序列逐点收敛。
    因此，\(f_n \to f\) 本质收敛 \(\iff$ \)f_n \to f$ 几乎处处收敛。

  3. 本质收敛与依测度收敛的区别

    • 本质收敛 要求在一个满测集上逐点收敛，是“逐点”类型的收敛。
    • 依测度收敛 则要求对任意 \(\varepsilon > 0\)，有

\[ \lim_{n \to \infty} \mu(\{x: |f_n(x) - f(x)| > \varepsilon\}) = 0。 \]

依测度收敛不蕴含本质收敛，反之亦然。但当 \(\mu(X) < \infty\) 时，本质收敛蕴含依测度收敛（根据 Egorov 定理的推论）。

  1. 本质收敛的等价刻画
    \(f_n \to f\) 本质收敛当且仅当对任意 \(\delta > 0\)，存在可测集 \(E\) 使得 \(\mu(E) < \delta\)，且在 \(X \setminus E\) 上 \(f_n\) 一致收敛到 \(f\)。这是 Egorov 定理的内容，它建立了几乎处处收敛与一致收敛在有限测度集上的联系。

  2. 本质收敛与 \(L^\infty\) 收敛的关系
    在 \(L^\infty\) 空间中，本质收敛等价于依范数收敛：

\[ \|f_n - f\|_{L^\infty} \to 0 \quad \Longleftrightarrow \quad f_n \to f \text{ 本质收敛}。 \]

这里 \(L^\infty\) 范数是本质上确界范数，即

\[ \|g\|_{L^\infty} = \inf\{M \geq 0: |g(x)| \leq M \ \text{几乎处处}\}。 \]

  1. 本质收敛在积分理论中的应用
    若 \(f_n \to f\) 本质收敛，且存在可积函数 \(g\) 使得 \(|f_n| \leq g\) 几乎处处，则由控制收敛定理，有

\[ \lim_{n \to \infty} \int_X f_n \, d\mu = \int_X f \, d\mu。 \]

这展示了本质收敛在积分极限交换中的重要性。

  1. 本质收敛与子序列的关系
    如果 \(f_n \to f\) 依测度收敛，则存在子序列 \(\{f_{n_k}\}\) 使得 \(f_{n_k} \to f\) 本质收敛。这一性质在证明许多极限定理时非常有用，它允许我们从较弱的收敛形式中提取出强收敛的子序列。

  2. 本质收敛的完备性
    在可测函数空间中，本质收敛是完备的：若序列 \(\{f_n\}\) 满足对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(N\) 使得当 \(m, n \geq N\) 时，\(\mu(\{|f_m - f_n| > \varepsilon\}) < \varepsilon\)，则存在可测函数 \(f\) 使得 \(f_n \to f\) 本质收敛。这是 Riesz-Weyl 定理的一个形式，它本质上是 \(L^0\) 空间的完备性。

可测函数的本质收敛 我们先从本质收敛的基本定义开始。设 \((X, \mathcal{F}, \mu)\) 是一个测度空间，\(f\) 和 \(f_ n\)（\(n \in \mathbb{N}\)）是定义在 \(X\) 上的扩展实值可测函数。 本质收敛的定义 称序列 \(\{f_ n\}\) 本质收敛 到 \(f\)，如果存在一个零测集 \(N \subset X\)（即 \(\mu(N) = 0\)），使得在 \(X \setminus N\) 上，\(f_ n(x) \to f(x)\) 逐点成立。换句话说，除了一个零测集外，\(f_ n\) 处处收敛到 \(f\)。 这实际上是“几乎处处收敛”的另一种表述，两者是等价的。 本质收敛与几乎处处收敛的关系 在测度论中，“几乎处处收敛”和“本质收敛”是同一概念的不同名称。它们都描述的是：存在一个零测集 \(N\)，在 \(N\) 的补集上序列逐点收敛。 因此，\(f_ n \to f\) 本质收敛 \(\iff\) \(f_ n \to f\) 几乎处处收敛。 本质收敛与依测度收敛的区别 本质收敛 要求在一个满测集上逐点收敛，是“逐点”类型的收敛。 依测度收敛 则要求对任意 \(\varepsilon > 0\)，有 \[ \lim_ {n \to \infty} \mu(\{x: |f_ n(x) - f(x)| > \varepsilon\}) = 0。 \] 依测度收敛不蕴含本质收敛，反之亦然。但当 \(\mu(X) < \infty\) 时，本质收敛蕴含依测度收敛（根据 Egorov 定理的推论）。 本质收敛的等价刻画 \(f_ n \to f\) 本质收敛当且仅当对任意 \(\delta > 0\)，存在可测集 \(E\) 使得 \(\mu(E) < \delta\)，且在 \(X \setminus E\) 上 \(f_ n\) 一致收敛到 \(f\)。这是 Egorov 定理的内容，它建立了几乎处处收敛与一致收敛在有限测度集上的联系。 本质收敛与 \(L^\infty\) 收敛的关系 在 \(L^\infty\) 空间中，本质收敛等价于依范数收敛： \[ \|f_ n - f\| {L^\infty} \to 0 \quad \Longleftrightarrow \quad f_ n \to f \text{ 本质收敛}。 \] 这里 \(L^\infty\) 范数是本质上确界范数，即 \[ \|g\| {L^\infty} = \inf\{M \geq 0: |g(x)| \leq M \ \text{几乎处处}\}。 \] 本质收敛在积分理论中的应用 若 \(f_ n \to f\) 本质收敛，且存在可积函数 \(g\) 使得 \(|f_ n| \leq g\) 几乎处处，则由控制收敛定理，有 \[ \lim_ {n \to \infty} \int_ X f_ n \, d\mu = \int_ X f \, d\mu。 \] 这展示了本质收敛在积分极限交换中的重要性。 本质收敛与子序列的关系 如果 \(f_ n \to f\) 依测度收敛，则存在子序列 \(\{f_ {n_ k}\}\) 使得 \(f_ {n_ k} \to f\) 本质收敛。这一性质在证明许多极限定理时非常有用，它允许我们从较弱的收敛形式中提取出强收敛的子序列。 本质收敛的完备性 在可测函数空间中，本质收敛是完备的：若序列 \(\{f_ n\}\) 满足对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(N\) 使得当 \(m, n \geq N\) 时，\(\mu(\{|f_ m - f_ n| > \varepsilon\}) < \varepsilon\)，则存在可测函数 \(f\) 使得 \(f_ n \to f\) 本质收敛。这是 Riesz-Weyl 定理的一个形式，它本质上是 \(L^0\) 空间的完备性。