特征线法 特征线法是求解偏微分方程的重要工具，特别适用于一阶线性与拟线性偏微分方程。下面我将逐步介绍这一方法的核心思想与具体步骤。 首先，考虑一个一阶线性偏微分方程的一般形式： \[ a(x, y) \frac{\partial u}{\partial x} + b(x, y) \frac{\partial u}{\partial y} = c(x, y) u + d(x, y), \] 其中 \( u = u(x, y) \) 是未知函数，\( a, b, c, d \) 是已知函数。特征线法的核心思想是：将偏微分方程转化为沿一组特殊曲线（称为特征线）的常微分方程组。这些特征线由方程系数 \( a \) 和 \( b \) 决定。 第一步，定义特征线。特征线是 \( xy \)-平面上满足以下常微分方程的曲线： \[ \frac{dx}{dt} = a(x, y), \quad \frac{dy}{dt} = b(x, y), \] 其中 \( t \) 是参数（通常表示沿曲线的“时间”或弧长）。沿这些曲线，原偏微分方程可简化为关于 \( u \) 的常微分方程。具体地，利用链式法则，\( u \) 沿特征线的全导数为： \[ \frac{du}{dt} = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial u}{\partial y} \frac{dy}{dt} = a \frac{\partial u}{\partial x} + b \frac{\partial u}{\partial y}. \] 将此式与原方程比较，可得： \[ \frac{du}{dt} = c(x, y) u + d(x, y). \] 这样，我们得到了一个常微分方程组： \[ \frac{dx}{dt} = a(x, y), \quad \frac{dy}{dt} = b(x, y), \quad \frac{du}{dt} = c(x, y) u + d(x, y). \] 求解这个方程组，即可得到沿每条特征线的 \( u \) 值。 第二步，考虑初值条件。假设在一条初始曲线 \( \Gamma \)（例如 \( y = g(x) \) 或参数形式）上给定了 \( u \) 的值：\( u(x, g(x)) = f(x) \)。我们需要从 \( \Gamma \) 出发，生成特征线族。具体步骤为： 在 \( \Gamma \) 上取一点 \( (x_ 0, y_ 0) \)，其中 \( y_ 0 = g(x_ 0) \)，且 \( u(x_ 0, y_ 0) = f(x_ 0) \)。 以该点为起点，求解特征线方程组的初值问题，得到一条特征线及沿线的 \( u \) 值。 对 \( \Gamma \) 上所有点重复此过程，生成覆盖解区域的特征线族。 第三步，扩展到拟线性方程。拟线性方程的形式为： \[ a(x, y, u) \frac{\partial u}{\partial x} + b(x, y, u) \frac{\partial u}{\partial y} = c(x, y, u). \] 此时，特征线方程变为： \[ \frac{dx}{dt} = a(x, y, u), \quad \frac{dy}{dt} = b(x, y, u), \quad \frac{du}{dt} = c(x, y, u). \] 求解方法与线性情况类似，但需注意方程现在与 \( u \) 耦合，可能产生非线性效应，如激波形成。 第四步，讨论解的存在性与唯一性。特征线法要求初始曲线 \( \Gamma \) 不与任何特征线相切，否则可能导致解不唯一或不存在（即违反柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理的条件）。若特征线相交，则可能产生多值解或间断，需引入激波条件。 最后，特征线法可应用于更复杂问题，如守恒律方程（如波动方程）和非线性方程（如伯格斯方程）。在这些情况下，特征线可能相交或发散，需结合数值方法或理论分析处理。