二次型的秩 我们先从线性代数中最基本的概念出发。一个二次型是定义在某个域 \( F \) 上的 \( n \) 个变量 \( x_ 1, x_ 2, \dots, x_ n \) 的二次齐次多项式。它的一般形式可以写作： \[ Q(x_ 1, \dots, x_ n) = \sum_ {i=1}^n \sum_ {j=1}^n a_ {ij} x_ i x_ j, \] 其中系数 \( a_ {ij} \in F \)，并且我们通常取对称形式，即 \( a_ {ij} = a_ {ji} \)。因此，二次型可以唯一地表示为一个对称矩阵 \( A = (a_ {ij}) \)，使得 \[ Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}, \] 这里 \( \mathbf{x} = (x_ 1, \dots, x_ n)^T \) 是变量构成的列向量。 步骤 1：二次型的矩阵表示与合同对角化 由于 \( A \) 是实对称或更一般域上的对称矩阵，我们可以通过非退化的线性替换（即选取可逆矩阵 \( P \)）将其合同对角化。具体来说，存在可逆矩阵 \( P \) 使得 \[ P^T A P = \operatorname{diag}(d_ 1, d_ 2, \dots, d_ r, 0, \dots, 0), \] 其中 \( d_ i \neq 0 \)，并且 \( r \) 是矩阵 \( A \) 的秩（即作为线性映射的秩）。这个 \( r \) 就被定义为 二次型的秩 。 步骤 2：秩的几何与代数意义 从几何角度看，二次型的秩告诉我们该二次型“真正起作用”的变量个数。例如，若 \( r < n \)，则存在非退化的坐标变换使得新的坐标 \( y_ 1, \dots, y_ n \) 中只有前 \( r \) 个出现在二次型中： \[ Q = d_ 1 y_ 1^2 + \dots + d_ r y_ r^2. \] 因此，秩 \( r \) 反映了二次型在坐标变换下的一个基本不变量：它不能通过可逆线性变换被“压缩”到更少变量的二次型中。 步骤 3：秩与二次型的分类 在实数域上，我们进一步有惯性定理：任何实二次型可以通过实可逆线性变换化为 \[ y_ 1^2 + \dots + y_ p^2 - y_ {p+1}^2 - \dots - y_ r^2, \] 这里 \( p \) 是正惯性指数，\( r-p \) 是负惯性指数，而 \( r \) 就是秩。因此，秩告诉我们非零系数的个数，而符号差 \((p, r-p)\) 则给出更精细的分类。 步骤 4：秩在更一般域上的表现 在一般域 \( F \)（如复数域、有限域等）上，二次型的秩仍然定义为对应对称矩阵的秩。但要注意，在特征为 2 的域上，对称矩阵与交替矩阵的关系会有所不同，此时需用交替部分来修正秩的定义，以保证与几何秩一致。不过基本思想不变：秩是二次型在非退化线性替换下最简形式中非零平方项的个数。 步骤 5：秩与二次曲面分类的应用 在几何中，考虑 \( \mathbb{R}^3 \) 中的二次曲面 \( Q(x,y,z) = c \)。秩的不同取值决定曲面的类型： 若秩 = 3，则为非退化曲面（椭球面、双曲面等）； 若秩 = 2，则为退化曲面（如椭圆抛物面、双曲柱面等）； 若秩 = 1，则进一步退化（如一对平行平面）。 因此，秩是判断二次曲面是否退化以及退化程度的关键数值不变量。