模的Schunert双积 我们先从模的张量积概念开始。设 \( R \) 是一个环，\( M \) 是一个右 \( R \)-模，\( N \) 是一个左 \( R \)-模。它们的张量积 \( M \otimes_ R N \) 是一个阿贝尔群，由形如 \( m \otimes n \)（其中 \( m \in M, n \in N \)）的元素生成，满足双线性关系和 \( (m \cdot r) \otimes n = m \otimes (r \cdot n) \) 这样的关系。这是构造双线性映射的通用对象。 接下来，我们考虑两个双模的情况。假设 \( R \) 和 \( S \) 是两个环，\( M \) 是一个 \((S,R)\)-双模（即左 \( S \)-模、右 \( R \)-模，且满足 \( (s m) r = s (m r) \)），\( N \) 是一个 \((R,S)\)-双模（即左 \( R \)-模、右 \( S \)-模，且满足 \( (r n) s = r (n s) \)）。那么，我们可以形成两个张量积：\( M \otimes_ R N \) 和 \( N \otimes_ S M \)。 现在，我们定义 Schunert 双积。它是在上述双模设置下，考虑 \( M \otimes_ R N \) 和 \( N \otimes_ S M \) 这两个阿贝尔群，并赋予它们某种环结构（或更一般地，范畴结构）的方法。具体地，Schunert 双积 是一个构造，它将两个双模 \( M \) 和 \( N \) 关联到一个新的环（或代数），其乘法由张量积上的特定运算给出。这个构造在研究环的扩张、表示论和同调代数中非常有用。 为了更精确，假设 \( M \) 是 \((S,R)\)-双模，\( N \) 是 \((R,S)\)-双模。那么，Schunert 双积 环 \( T \) 定义为如下形式的矩阵环： \[ T = \begin{pmatrix} S & M \\ N & R \end{pmatrix} \] 其乘法由双模作用自然定义：对于 \( (s, m, n, r) \in S \times M \times N \times R \)，乘法规则为 \[ (s, m, n, r) \cdot (s', m', n', r') = (s s' + (m \cdot n'), s m' + m r', n s' + r n', n \cdot m' + r r') \] 这里 \( m \cdot n' \in S \)，\( n \cdot m' \in R \) 是通过双模作用得到的。这个环 \( T \) 就是 \( M \) 和 \( N \) 的 Schunert 双积。 Schunert 双积 的一个重要性质是，它允许我们将环的扩张问题转化为双模的研究。例如，如果 \( R \) 和 \( S \) 是交换环，Schunert 双积 可以用于构造非交换环，这些环在表示论中扮演重要角色。此外，它在研究 Morita 等价和导出范畴时也非常有用，因为它提供了一种将两个环的模块范畴关联起来的方法。 总结来说，Schunert 双积 是一个强大的工具，它通过双模和张量积将两个环连接成一个新的环，从而简化了许多代数结构的研究。