赫斯顿模型下的傅里叶余弦展开方法（COS Method in Heston Model） 赫斯顿模型下的傅里叶余弦展开方法（COS方法）是一种高效求解随机波动率模型中期权定价问题的数值技术。接下来我将分步骤说明这一方法的实现原理： 赫斯顿模型的特征函数 赫斯顿模型的随机微分方程为： 资产价格：\( dS_ t = rS_ t dt + \sqrt{v_ t}S_ t dW_ t^1 \) 波动率：\( dv_ t = \kappa(\theta - v_ t)dt + \sigma\sqrt{v_ t}dW_ t^2 \)，其中 \( dW_ t^1 dW_ t^2 = \rho dt \) 其核心优势在于特征函数存在解析解： \[ \phi(u) = e^{C(u,\tau) + D(u,\tau)v_ 0 + iu\ln S_ 0} \] 其中系数 \( C(u,\tau), D(u,\tau) \) 由常微分方程组的解析解给出。这一闭式表达式是COS方法应用的基础。 COS方法的核心思想 利用特征函数与概率密度函数的傅里叶余弦展开关系： 对密度函数 \( f(y) \)（\( y = \ln S_ T \)）在区间 \([ a,b ]\) 展开： \[ f(y) \approx \sum_ {k=0}^{N-1} ' F_ k \cos\left(k\pi\frac{y-a}{b-a}\right) \] 其中 \( F_ k = \frac{2}{b-a} \Re\left\{ \phi\left(\frac{k\pi}{b-a}\right) e^{-i\frac{k\pi a}{b-a}} \right\} \) 由特征函数计算。 期权定价积分化简 以欧式看涨期权为例，将定价公式写为： \[ V = e^{-r\tau} \int_ a^b [ e^y - K ]^+ f(y) dy \] 代入余弦展开后，利用余弦级数的正交性，得到： \[ V \approx e^{-r\tau} \sum_ {k=0}^{N-1} ' F_ k \cdot \chi_ k(a,b) \] 其中 \( \chi_ k \) 是 payoff 函数的余弦变换解析解，对于看涨期权有闭式表达式。 计算效率优化 区间截断：通过 \( [ a,b] = [ c_ 1 - L\sqrt{c_ 2}, c_ 1 + L\sqrt{c_ 2}] \) 确定积分域，其中 \( c_ 1, c_ 2 \) 由特征函数的累积量计算 级数截断：通常取 \( N=128 \) 即可达到 \( 10^{-7} \) 精度 复用特征函数：同一组 \( \phi(k\pi/(b-a)) \) 可对所有行权价定价 与数值方法的对比 相比传统的傅里叶反演方法，COS方法通过： 直接利用余弦展开避免复数运算 解析计算 \( \chi_ k \) 项消除数值误差 保持指数收敛性（当密度函数光滑时） 在保持相同精度下，计算速度比快速傅里叶变换提升约10倍。 这种方法将随机波动率模型的复杂定价问题，转化为特征函数值的加权求和，实现了计算精度与效率的平衡，成为现代量化金融中的标准数值工具之一。