傅里叶变换在随机波动率跳跃扩散模型下的期权定价 我将为您详细讲解傅里叶变换在随机波动率跳跃扩散模型下期权定价的完整知识体系。 第一步：随机波动率跳跃扩散模型的基本框架 随机波动率跳跃扩散模型是对传统随机波动率模型的扩展，它同时考虑了资产价格的连续扩散、波动率的随机性以及价格跳跃行为。模型的一般形式为： dSₜ/Sₜ = (r - q - λμⱼ)dt + √VₜdWₜˢ + JₜdNₜ dVₜ = κ(θ - Vₜ)dt + σ√VₜdWₜᵛ 其中： Sₜ是资产价格，Vₜ是波动率过程 r是无风险利率，q是股息率 Wₜˢ和Wₜᵛ是相关的布朗运动，相关系数为ρ Nₜ是强度为λ的泊松过程 Jₜ是跳跃幅度，通常假设服从对数正态分布 μⱼ是跳跃的均值调整项：μⱼ = E[ eᴶ - 1 ] 第二步：特征函数推导 傅里叶定价方法的核心是资产价格的对数特征函数。对于随机波动率跳跃扩散模型，我们需要求解条件特征函数： ϕ(u) = E[ exp(iu ln Sₜ)|ℱ₀ ] 通过Feynman-Kac定理，特征函数满足以下PDE： ∂ϕ/∂t + (r - q - λμⱼ)S∂ϕ/∂S + κ(θ - V)∂ϕ/∂V ½VS²∂²ϕ/∂S² + ½σ²V∂²ϕ/∂V² + ρσVS∂²ϕ/∂S∂V λE[ ϕ(t,S(1+J),V) - ϕ(t,S,V) ] = 0 假设特征函数形式为ϕ(u) = exp(A(τ,u) + B(τ,u)V₀ + iu ln S₀)，其中τ = T - t，我们可以将其转化为常微分方程组： dB/dτ = -½u(i+u) - κB + ½σ²B² + ρσiuB dA/dτ = (r - q - λμⱼ)iu + κθB + λ(E[ e^{iu ln(1+J)} - 1 ]) 第三步：傅里叶定价公式 在得到特征函数后，我们可以使用傅里叶反演公式计算期权价格。对于看涨期权，Carr-Madan公式给出： C(S₀,K,T) = e^{-αk}/π ∫₀^∞ Re[ e^{-ivk}ψ(v) ]dv 其中： k = ln K是执行价格的对数 α是阻尼因子，确保积分收敛 ψ(v) = e^{-rT}ϕ(v - (α+1)i)/[ α² + α - v² + i(2α+1)v ] 第四步：数值实现细节 实际计算中需要处理以下关键问题： 特征函数数值求解 ：使用龙格-库塔法求解ODE系统，特别注意跳跃项的积分计算 傅里叶反演 ：采用快速傅里叶变换(FFT)或傅里叶余弦展开(COS方法) FFT方法：C(k) ≈ e^{-αk}/π ∑ₘ Re[ e^{-ivₘk}ψ(vₘ) ]Δv 阻尼因子选择 ：α需要足够大以保证被积函数的可积性，但过大会导致数值不稳定 截断误差控制 ：积分上限需要足够大以减小截断误差，通常取到v_ max = 1000 第五步：模型校准与参数估计 模型参数Θ = (κ,θ,σ,ρ,λ,μⱼ,σⱼ)需要通过市场数据进行校准： 目标函数 ：minΘ ∑ᵢ[ C_ mkt(Kᵢ,Tᵢ) - C_ model(Kᵢ,Tᵢ;Θ) ]² 优化算法 ：由于问题高度非线性，通常使用全局优化算法（如差分进化）结合局部搜索 跳跃参数识别 ：短期期权的隐含波动率微笑主要由跳跃参数决定，而长期期权的倾斜由随机波动率参数决定 第六步：模型扩展与应用 基本模型可以进一步扩展为： 时变跳跃强度：λ(t)允许随时间变化 双指数跳跃：跳跃幅度服从双指数分布，更好地捕捉非对称性 带跳跃的波动率：在波动率过程中也引入跳跃 这个框架能够同时捕捉波动率聚类、杠杆效应、跳跃风险等市场现象，为奇异期权和波动率衍生品定价提供坚实基础。