模的Koszul复形 我们先从模的基本概念开始。一个模是环上的线性空间结构，它允许我们进行环中元素与模中元素的"数乘"运算。设R是环，M是R-模。 接下来需要理解外代数。给定R-模M，其外代数∧M是一个分次代数，其中∧⁰M = R，∧¹M = M，而高阶外积∧ⁿM由形如m₁∧m₂∧⋯∧mₙ的元素生成，满足反交换关系m∧n = -n∧m。 现在考虑Koszul复形的构造。给定R-模M和R-线性映射f: M → R，我们可以定义Koszul复形K(f)。这是一个链复形，其第n项为Kₙ(f) = ∧ⁿM，边界映射dₙ: ∧ⁿM → ∧ⁿ⁻¹M定义为： dₙ(m₁∧⋯∧mₙ) = Σ(-1)ⁱ⁻¹f(mᵢ)m₁∧⋯∧m̂ᵢ∧⋯∧mₙ 其中m̂ᵢ表示去掉该因子。 更一般地，对于一组元素x₁,...,xᵣ ∈ R，考虑自由模Rʳ和映射f: Rʳ → R将标准基eᵢ映为xᵢ。对应的Koszul复形K(x₁,...,xᵣ)是研究序列(x₁,...,xᵣ)正则性的基本工具。 Koszul复形的一个重要性质是：当(x₁,...,xᵣ)是正则序列时，该复形的同调群在正次数处为零，而零次同调为R/(x₁,...,xᵣ)。这建立了Koszul同调与深度理论的联系。 在交换代数中，Koszul复形用于定义和计算模的深度。设M是R-模，I是R的理想，由元素x₁,...,xᵣ生成。考虑Koszul复形K(x)⊗M，其同调群Hᵢ(x;M)称为Koszul同调群。深度(I,M)定义为使得Hᵢ(x;M)≠0的最大整数i。 Koszul对偶是这一理论的深层发展。对于适当的分次代数A，其Koszul对偶是一个分次代数Aᵢ，使得A的生成元和关系对应于Aᵢ的生成元和关系，但次数反转。这在表示理论和代数几何中有重要应用。