可测函数的本质有界性与L^p空间的关系

1. 本质有界性的定义
   设\((X,\mathcal{F},\mu)\)是测度空间，\(f:X\to\mathbb{R}\)是可测函数。称\(f\)是本质有界的，若存在常数\(M\geq 0\)，使得

\[ \mu(\{x\in X:|f(x)|>M\})=0 \]

所有这样的\(M\)的下确界称为\(f\)的本质上确界，记作\(\|f\|_{L^\infty}\)。本质有界函数全体构成的空间记为\(L^\infty(X,\mu)\)。

2. \(L^p\)空间的基本性质
   对\(1\leq p<\infty\)，定义\(L^p\)空间为满足\(\|f\|_p:=\left(\int_X |f|^p d\mu\right)^{1/p}<\infty\)的可测函数构成的赋范空间（将几乎处处相等的函数视作同一元）。当\(p\to\infty\)时，\(L^p\)范数与\(L^\infty\)范数通过极限关系相联系：

\[ \lim_{p\to\infty}\|f\|_p = \|f\|_{L^\infty} \]

这一性质在有限测度空间中尤为明显。

3. 嵌入关系与对偶性
   • 若\(\mu(X)<\infty\)，则有连续嵌入链：

\[ L^\infty \hookrightarrow L^q \hookrightarrow L^p \quad (1\leq p

这一关系由赫尔德不等式保证，且说明在有限测度空间中，本质有界函数必属于所有\(L^p\)空间。

• 当\(1\leq p<\infty\)时，\((L^p)^*=L^{q}\)（\(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\)），但\((L^\infty)^*\)不是\(L^1\)，这揭示了\(L^\infty\)的特殊对偶结构。

4. 逼近性质
   对任意\(f\in L^p \ (1\leq p\leq\infty)\)，存在简单函数列\(\{\phi_n\}\)满足：

   • \(|\phi_n|\leq |f|\)且\(\phi_n\to f\)几乎处处
   • 当\(p<\infty\)时\(\|\phi_n-f\|_p\to 0\)
   • 当\(p=\infty\)时\(\phi_n\)在\(L^\infty\)范数下一致逼近\(f\)

5. 插值定理的应用
   里斯-索林插值定理表明：若线性算子\(T\)在\(L^{p_0}\)和\(L^{p_1}\)上有界，则对任意\(p\in(p_0,p_1)\)，\(T\)在\(L^p\)上也有界。特别地，当\(p_1=\infty\)时，该定理建立了\(L^\infty\)有界性向\(L^p\)有界性的传递。

6. 稠密性关系
   在\(\sigma\)-有限测度空间中，\(L^p\cap L^\infty\)在\(L^p\ (1\leq p<\infty)\)中稠密。这一性质使得研究\(L^\infty\)函数可转化为研究\(L^p\)中具有一致界函数列的性质，为泛函分析中的逼近问题提供重要工具。