模的Frobenius函子 我们先从模的基本概念开始。模可以看作是在一个环上的"向量空间"，不过环不一定是一个域。具体来说，如果R是一个环，那么一个左R-模M是一个交换群，带有一个R在M上的作用，满足一定的分配律和结合律条件。 现在考虑环的特征。如果一个环R是特征p的，其中p是一个素数，那么对于R中的任意元素r，我们有p·r = 0。在特征p的环上，我们可以定义一个重要的映射——Frobenius同态。对于R中的元素r，Frobenius同态定义为F(r) = r^p。 当我们将Frobenius同态应用到模上时，就产生了Frobenius函子的概念。具体来说，对于左R-模M，我们可以通过Frobenius同态来构造一个新的R-模，记作F* (M)。这个构造的过程可以这样理解：我们保持M作为交换群的结构不变，但通过Frobenius同态来重新定义R在M上的作用。 更精确地说，F* (M)作为集合就是M，但新的环作用定义为r·m = F(r)m = r^p m，其中右边的乘法是原来的R-模结构中的乘法。这样，我们就得到了一个新的R-模结构。 Frobenius函子的重要性在于它保持了模的许多重要性质。例如，如果M是一个有限生成的R-模，那么F* (M)也是有限生成的。如果M是自由模，那么F* (M)也是自由模。这些性质使得Frobenius函子成为研究模的分类和结构的重要工具。 在交换代数和代数几何中，Frobenius函子有着深刻的应用。特别是在研究环的奇异性和模的复杂性时，Frobenius函子提供了一个强有力的工具。通过研究模在多次应用Frobenius函子下的行为，我们可以得到关于环和模的深层信息。