模的平坦模

字数 2101 2025-11-24 12:53:18

模的平坦模

我们先从模的平坦性的基本概念开始。平坦模是模论和同调代数中的一个重要概念，它描述了模在张量积操作下保持正合性的性质。

第一步：回顾张量积函子
设 \(R\) 是一个环，\(M\) 是一个右 \(R\)-模。那么我们可以定义张量积函子 \(M \otimes_R -\)，它将左 \(R\)-模 \(N\) 映射到阿贝尔群 \(M \otimes_R N\)，并将左 \(R\)-模同态 \(f: N_1 \to N_2\) 映射为阿贝尔群同态 \(\text{id}_M \otimes f: M \otimes_R N_1 \to M \otimes_R N_2\)。需要注意的是，张量积函子总是右正合函子，即如果序列 \(N_1 \xrightarrow{f} N_2 \xrightarrow{g} N_3 \to 0\) 是正合的，那么通过张量积得到的序列 \(M \otimes_R N_1 \xrightarrow{\text{id}_M \otimes f} M \otimes_R N_2 \xrightarrow{\text{id}_M \otimes g} M \otimes_R N_3 \to 0\) 也是正合的。

第二步：平坦模的定义
一个右 \(R\)-模 \(M\) 被称为平坦模，如果张量积函子 \(M \otimes_R -\) 是正合函子。这意味着对于任意左 \(R\)-模的短正合序列 \(0 \to N_1 \xrightarrow{f} N_2 \xrightarrow{g} N_3 \to 0\)，通过张量积 \(M \otimes_R -\) 作用后得到的序列 \(0 \to M \otimes_R N_1 \xrightarrow{\text{id}_M \otimes f} M \otimes_R N_2 \xrightarrow{\text{id}_M \otimes g} M \otimes_R N_3 \to 0\) 仍然是短正合的。由于 \(M \otimes_R -\) 总是右正合的，平坦性的关键要求在于它也能保持单同态，即 \(\text{id}_M \otimes f\) 是单射。

第三步：平坦模的等价刻画
平坦模有几种等价的刻画方式。其中一个重要的刻画是利用Tor函子：模 \(M\) 是平坦的当且仅当对于所有左 \(R\)-模 \(N\) 和所有 \(n \geq 1\)，有 \(\text{Tor}_n^R(M, N) = 0\)。特别地，由于 \(\text{Tor}_1^R(M, N)\) 衡量了 \(M \otimes_R -\) 破坏正合性的程度，因此 \(M\) 平坦当且仅当对任意 \(N\)，\(\text{Tor}_1^R(M, N) = 0\)。另一个有用的刻画是：\(M\) 是平坦的当且仅当对于 \(R\) 的任意理想 \(I\)，自然同态 \(M \otimes_R I \to M\)（由包含映射 \(I \hookrightarrow R\) 诱导）是单射，其像为 \(MI\)。

第四步：平坦模的例子

任何自由模都是平坦模。因为自由模是若干 copies of \(R\) 的直和，而 \(R\) 本身作为 \(R\)-模是平坦的（因为 \(R \otimes_R N \cong N\)），且平坦模的直和仍然是平坦的。
更一般地，投射模也是平坦模，因为投射模是自由模的直和项，而平坦模在直和项下是封闭的。
然而，存在平坦模不是投射模的例子。例如，有理数域 \(\mathbb{Q}\) 作为 \(\mathbb{Z}\)-模是平坦的，但不是投射模，因为 \(\mathbb{Q}\) 不是自由的（考虑 \(\mathbb{Z}\)-秩）。
在诺特环上，有限生成平坦模必然是投射模。

第五步：平坦模的性质
平坦模具有一系列良好的性质：

平坦模的直和、直和限（直接极限）仍然是平坦模。这一性质在构造平坦模时非常有用。
如果 \(M\) 是平坦右 \(R\)-模，\(f: R \to S\) 是环同态，那么通过标量变换得到的模 \(M \otimes_R S\) 是平坦右 \(S\)-模。
平坦性是一个局部性质：一个模是平坦的当且仅当它在所有素理想（或极大理想）处的局部化是平坦的。

第六步：平坦模与同调维数
平坦模与同调维数有紧密联系。模 \(M\) 的平坦维数定义为使得函子 \(\text{Tor}_n^R(M, -)\) 对所有模为零的最小整数 \(n\)。因此，平坦模正是平坦维数为0的模。平坦维数的概念使得我们可以通过Tor函子来研究模的结构和环的整体性质。

模的平坦模我们先从模的平坦性的基本概念开始。平坦模是模论和同调代数中的一个重要概念，它描述了模在张量积操作下保持正合性的性质。第一步：回顾张量积函子设 \( R \) 是一个环，\( M \) 是一个右 \( R \)-模。那么我们可以定义张量积函子 \( M \otimes_ R - \)，它将左 \( R \)-模 \( N \) 映射到阿贝尔群 \( M \otimes_ R N \)，并将左 \( R \)-模同态 \( f: N_ 1 \to N_ 2 \) 映射为阿贝尔群同态 \( \text{id}_ M \otimes f: M \otimes_ R N_ 1 \to M \otimes_ R N_ 2 \)。需要注意的是，张量积函子总是右正合函子，即如果序列 \( N_ 1 \xrightarrow{f} N_ 2 \xrightarrow{g} N_ 3 \to 0 \) 是正合的，那么通过张量积得到的序列 \( M \otimes_ R N_ 1 \xrightarrow{\text{id}_ M \otimes f} M \otimes_ R N_ 2 \xrightarrow{\text{id}_ M \otimes g} M \otimes_ R N_ 3 \to 0 \) 也是正合的。第二步：平坦模的定义一个右 \( R \)-模 \( M \) 被称为平坦模，如果张量积函子 \( M \otimes_ R - \) 是正合函子。这意味着对于任意左 \( R \)-模的短正合序列 \( 0 \to N_ 1 \xrightarrow{f} N_ 2 \xrightarrow{g} N_ 3 \to 0 \)，通过张量积 \( M \otimes_ R - \) 作用后得到的序列 \( 0 \to M \otimes_ R N_ 1 \xrightarrow{\text{id}_ M \otimes f} M \otimes_ R N_ 2 \xrightarrow{\text{id}_ M \otimes g} M \otimes_ R N_ 3 \to 0 \) 仍然是短正合的。由于 \( M \otimes_ R - \) 总是右正合的，平坦性的关键要求在于它也能保持单同态，即 \( \text{id}_ M \otimes f \) 是单射。第三步：平坦模的等价刻画平坦模有几种等价的刻画方式。其中一个重要的刻画是利用Tor函子：模 \( M \) 是平坦的当且仅当对于所有左 \( R \)-模 \( N \) 和所有 \( n \geq 1 \)，有 \( \text{Tor}_ n^R(M, N) = 0 \)。特别地，由于 \( \text{Tor}_ 1^R(M, N) \) 衡量了 \( M \otimes_ R - \) 破坏正合性的程度，因此 \( M \) 平坦当且仅当对任意 \( N \)，\( \text{Tor}_ 1^R(M, N) = 0 \)。另一个有用的刻画是：\( M \) 是平坦的当且仅当对于 \( R \) 的任意理想 \( I \)，自然同态 \( M \otimes_ R I \to M \)（由包含映射 \( I \hookrightarrow R \) 诱导）是单射，其像为 \( MI \)。第四步：平坦模的例子任何自由模都是平坦模。因为自由模是若干 copies of \( R \) 的直和，而 \( R \) 本身作为 \( R \)-模是平坦的（因为 \( R \otimes_ R N \cong N \)），且平坦模的直和仍然是平坦的。更一般地，投射模也是平坦模，因为投射模是自由模的直和项，而平坦模在直和项下是封闭的。然而，存在平坦模不是投射模的例子。例如，有理数域 \( \mathbb{Q} \) 作为 \( \mathbb{Z} \)-模是平坦的，但不是投射模，因为 \( \mathbb{Q} \) 不是自由的（考虑 \( \mathbb{Z} \)-秩）。在诺特环上，有限生成平坦模必然是投射模。第五步：平坦模的性质平坦模具有一系列良好的性质：平坦模的直和、直和限（直接极限）仍然是平坦模。这一性质在构造平坦模时非常有用。如果 \( M \) 是平坦右 \( R \)-模，\( f: R \to S \) 是环同态，那么通过标量变换得到的模 \( M \otimes_ R S \) 是平坦右 \( S \)-模。平坦性是一个局部性质：一个模是平坦的当且仅当它在所有素理想（或极大理想）处的局部化是平坦的。第六步：平坦模与同调维数平坦模与同调维数有紧密联系。模 \( M \) 的平坦维数定义为使得函子 \( \text{Tor}_ n^R(M, -) \) 对所有模为零的最小整数 \( n \)。因此，平坦模正是平坦维数为0的模。平坦维数的概念使得我们可以通过Tor函子来研究模的结构和环的整体性质。