哈尔测度的模函数性质

哈尔测度是定义在局部紧群上的一种特殊测度，具有平移不变性。模函数是描述哈尔测度在群运算下变换行为的函数，它建立了左哈尔测度与右哈尔测度之间的关系。

让我们从基本概念开始理解：

1. 局部紧群与哈尔测度基础

   • 局部紧群是指既是局部紧拓扑空间又是群的数学结构，且群运算是连续的
   • 左哈尔测度μ满足对任意群元素g和可测集A，有μ(gA) = μ(A)
   • 右哈尔测度类似，满足μ(Ag) = μ(A)
   • 在阿贝尔群中，左右哈尔测度一致

2. 模函数的定义

   • 对于固定g∈G，考虑映射A ↦ μ(Ag)
   • 这个映射也是左不变的，因为μ(hAg) = μ(Ag)（由左不变性）
   • 根据哈尔测度的唯一性（相差常数倍），存在Δ(g) > 0使得：
     μ(Ag) = Δ(g)μ(A) 对所有可测集A成立
   • 函数Δ: G → ℝ⁺称为群G的模函数

3. 模函数的基本性质

   • Δ是连续群同态：Δ(gh) = Δ(g)Δ(h)
   • Δ(g⁻¹) = 1/Δ(g)
   • 在紧群中，Δ ≡ 1（因为值域是紧的乘法子群）
   • 在阿贝尔群中，Δ ≡ 1

4. 左右哈尔测度的关系

   • 设μ是左哈尔测度，定义右哈尔测度μ_r(A) = μ(A⁻¹)
   • 可以证明μ_r(Ag) = Δ(g⁻¹)μ_r(A)
   • 因此，当Δ ≡ 1时，左右哈尔测度一致

5. 模函数的微分形式

   • 在局部坐标下，模函数可表示为雅可比行列式
   • 对于右平移R_g: x ↦ xg，其微分d(R_g)满足：
     μ(R_g(A)) = |det d(R_g)| μ(A)
   • 因此Δ(g) = |det d(R_g)|

6. 单模群

   • 如果Δ ≡ 1，称G为单模群
   • 紧群、离散群、阿贝尔群、幂零群都是单模群
   • 非单模群的典型例子是ax+b群

模函数在调和分析、表示理论和遍历理论中都有重要应用，它量化了群的"非交换程度"，是理解群结构与分析性质之间关系的关键桥梁。