模的Artin-Rees引理 我们先从模的过滤概念开始理解。设R是一个环，M是一个R-模。M的一个过滤是指M的一列子模M₀ ⊆ M₁ ⊆ M₂ ⊆ ⋯（称为升过滤）或者M ⊇ M₀ ⊇ M₁ ⊇ M₂ ⊇ ⋯（称为降过滤），这些子模构成了对模M的一种逐步逼近。 现在考虑环R的理想I。对于R-模M，如果给定了一个I-过滤，即降过滤{Mₙ}使得IMₙ ⊆ Mₙ₊₁对所有n成立，那么这个过滤就与理想I相容。特别地，I-进过滤Mₙ = IⁿM是一个重要的例子，它通过理想I的幂次来逐步逼近模M。 Artin-Rees引理的核心内容涉及两个R-模N ⊆ M。当M是诺特模时（即满足子模的升链条件），对于M的任意子模N，考虑N在I-进过滤下的诱导过滤N ∩ IⁿM。这个引理断言存在一个正整数k，使得对所有n ≥ k，都有N ∩ IⁿM = Iⁿ⁻ᵏ(N ∩ IᵏM)。这意味着从某个阶段开始，子模N与IⁿM的交集可以由较早的项通过理想I的作用来确定。 这个结果的证明思路是利用Rees环的概念。构造Rees环R* = ⊕ {n≥0}Iⁿtⁿ ⊆ R[ t]，它是包含理想I所有幂次的形式和。相应地，对于I-过滤{Mₙ}，可以构造Rees模M* = ⊕ {n≥0}Mₙtⁿ。当M是诺特模时，M 是诺特的R -模，而子模N* = ⊕_ {n≥0}(N ∩ Mₙ)tⁿ是M 的R -子模，从而是有限生成的。通过分析生成元次数，可以导出所需的Artin-Rees关系。 Artin-Rees引理的一个重要推论是I-进拓扑在子模上的限制与子模的I-进拓扑一致。这意味着如果考虑M的完备化（关于I-进拓扑），那么子模N的完备化可以自然视为M完备化的子模。这个性质在研究完备化与局部化之间的关系时非常关键。 另一个关键应用是在证明诺特环上模的相交定理中。该定理表明，对于诺特环R和有限生成R-模M，所有幂零理想在M上的作用最终稳定，即存在正整数k使得对任意n，有IⁿM ∩ ann_ M(I) = 0，其中ann_ M(I)表示在M中被I零化的元素集合。