曲面的主方向与曲率线 1. 曲面的局部几何与曲率 在曲面上任意一点 \( P \)，存在一个切平面。通过该点的不同法截面（即包含法向量的平面）与曲面相交，得到一簇曲线，这些曲线的曲率称为 法曲率 。法曲率的值依赖于法截面的方向。 2. 主方向与主曲率的定义 在点 \( P \) 的切平面中，总存在两个互相垂直的方向，使得法曲率取得最大值 \( k_ 1 \) 和最小值 \( k_ 2 \)，这两个方向称为 主方向 ，对应的曲率 \( k_ 1 \) 和 \( k_ 2 \) 称为 主曲率 。 数学上，主曲率是曲面第二基本形式相对于第一基本形式的特征值，主方向是对应的特征向量。 3. 曲率线的概念 若曲面上一条曲线在每一点的切方向均为该点的主方向，则这条曲线称为 曲率线 。曲率线构成了曲面上两族互相正交的曲线网（除非该点是脐点，即所有方向都是主方向）。 4. 曲率线的微分方程 设曲面参数化为 \( \mathbf{r}(u,v) \)，曲率线的微分方程可由以下条件导出： \[ (L du + M dv) du' + (M du + N dv) dv' = 0, \] 其中 \( L, M, N \) 是第二基本形式的系数，\( (du', dv') \) 是切方向的分量。该方程的解对应曲率线的切线方向。 5. 曲率线的几何与物理意义 曲率线是曲面上“最自然”的曲线之一，反映了曲面的内在弯曲结构。 在工程中，曲率线常用于壳体结构的设计，因为沿曲率线的应力分布更均匀。 曲率线也是研究曲面形变、流动等问题的重要工具。 6. 曲率线与主方向的关系 曲率线是主方向的积分曲线：沿着曲率线移动时，曲线的切线方向始终是当前点的主方向。因此，曲率线网是主方向场的坐标曲线网。 7. 例子：旋转曲面 对于旋转曲面，经线和纬线通常是曲率线。例如，在球面上，任意大圆都是曲率线；在圆柱面上，母线和圆截面是曲率线。 8. 曲率线与曲率的关系 沿曲率线的法曲率即为主曲率 \( k_ 1 \) 或 \( k_ 2 \)。曲率线的曲率（作为空间曲线）与法曲率的关系由欧拉公式联系： \[ k_ n = k_ 1 \cos^2\theta + k_ 2 \sin^2\theta, \] 其中 \( \theta \) 是任意切方向与第一主方向的夹角。 9. 曲率线的应用 微分几何 ：曲率线是研究曲面局部分类（如脐点、平点）的基础。 几何建模 ：在计算机图形学中，曲率线用于曲面网格优化和特征提取。 物理与工程 ：在流体力学中，曲率线可表示涡线；在结构力学中，曲率线指导薄壳受力分析。