模形式的艾森斯坦级数的p进插值 我将为您讲解模形式的艾森斯坦级数的p进插值这一概念。这是一个连接模形式理论与p进分析的重要桥梁。 首先，我们需要理解什么是模形式的艾森斯坦级数。对于权 \(k \geq 3\) 的偶数，艾森斯坦级数 \(E_ k(z)\) 定义为： \[ E_ k(z) = \frac{1}{2} \sum_ {(m,n) \in \mathbb{Z}^2 \setminus \{(0,0)\}} \frac{1}{(mz + n)^k} \] 其中 \(z\) 是上半平面 \(\mathbb{H}\) 中的点。这个级数在模群 \(SL_ 2(\mathbb{Z})\) 的作用下具有不变性。 艾森斯坦级数具有傅里叶展开： \[ E_ k(z) = 1 - \frac{2k}{B_ k} \sum_ {n=1}^{\infty} \sigma_ {k-1}(n) q^n \] 其中 \(q = e^{2\pi i z}\)，\(B_ k\) 是第k个伯努利数，\(\sigma_ {k-1}(n) = \sum_ {d|n} d^{k-1}\) 是除数和函数。 现在，我们进入p进分析的部分。p进数域 \(\mathbb{Q}_ p\) 是实数域 \(\mathbb{R}\) 的p进类比，具有非阿基米德绝对值 \(| \cdot |_ p\)，定义为 \(|x|_ p = p^{-v_ p(x)}\)，其中 \(v_ p(x)\) 是x中p的指数。 p进插值的核心思想是：我们希望将艾森斯坦级数视为权k的p进解析函数。具体来说，我们考虑权k在p进域上的连续变化。 构造p进艾森斯坦级数的关键步骤是： 正则化 ：我们需要消除艾森斯坦级数在特定权值处的极点。定义正则化艾森斯坦级数为： \[ E_ k^{(p)}(z) = E_ k(z) - p^{k-1} E_ k(pz) \] 这个级数在权k为p进整数时是良定义的。 p进测度 ：我们构造一个p进分布 \(\mu\) 在 \(\mathbb{Z}_ p^\times\) 上，使得对于连续函数 \(f: \mathbb{Z}_ p^\times \to \mathbb{C} p\)，积分 \(\int {\mathbb{Z}_ p^\times} f(x) d\mu(x)\) 是p进解析的。 插值公式 ：对于权k ∈ \(\mathbb{Z} p\)，p进艾森斯坦级数可以表示为： \[ E_ k^{(p)}(z) = \frac{1}{2} \int {\mathbb{Z} p^\times} \left( \sum {(m,n) \in \mathbb{Z}^2 \setminus \{(0,0)\}} \frac{\chi(x)}{(mz + n)^k} \right) d\mu(x) \] 其中 \(\chi\) 是p进特征标。 这个构造的重要性在于： 当k是正整数时，\(E_ k^{(p)}(z)\) 回归到经典的艾森斯坦级数 当k在p进域中变化时，\(E_ k^{(p)}(z)\) 是k的p进解析函数 这提供了从离散的权空间到连续的p进权空间的插值 p进插值的应用十分广泛： p进L函数 ：通过艾森斯坦级数的p进插值，我们可以构造各种p进L函数 岩泽理论 ：p进插值是岩泽理论中研究类数分布的基础 模形式的p进族 ：这是Hida理论和Coleman理论的核心内容 p进模形式 ：p进插值允许我们定义权为p进数的模形式 最终，我们得到的主要结论是：存在一个p进解析函数 \(E^{(p)}(k,z)\)，定义在权空间的一个p进区域上，使得当k为正整数时，\(E^{(p)}(k,z)\) 等于经典的艾森斯坦级数 \(E_ k^{(p)}(z)\)。这个插值性质建立了模形式与p进分析之间的深刻联系。