随机变量的变换的Cramér–Wold定理
字数 1603 2025-11-24 07:13:58

随机变量的变换的Cramér–Wold定理

  1. 基本动机
    在概率论中，我们常需判断随机向量的分布性质。若直接研究高维随机向量的分布函数或特征函数，可能因维度灾难而困难。Cramér–Wold定理的核心思想是：通过所有一维投影的分布来唯一确定高维随机向量的分布。例如，要判断两个二维随机向量\((X_1,X_2)\)和\((Y_1,Y_2)\)是否同分布，无需比较联合分布函数，只需验证对任意方向\(\mathbf{t} \in \mathbb{R}^2\)，投影\(t_1X_1 + t_2X_2\)与\(t_1Y_1 + t_2Y_2\)同分布即可。

  2. 数学表述
    设\(\mathbf{X} = (X_1, \dots, X_d)\)和\(\mathbf{Y} = (Y_1, \dots, Y_d)\)是\(d\)维随机向量。若对任意实向量\(\mathbf{t} = (t_1, \dots, t_d) \in \mathbb{R}^d\)，有：

\[\sum_{i=1}^d t_i X_i \stackrel{d}{=} \sum_{i=1}^d t_i Y_i \]

（即线性组合服从相同分布），则\(\mathbf{X} \stackrel{d}{=} \mathbf{Y}\)（联合分布相同）。

  1. 特征函数视角
    随机向量的特征函数为\(\phi_\mathbf{X}(\mathbf{t}) = \mathbb{E}[e^{i \mathbf{t}^\top \mathbf{X}}]\)。注意到：

\[\phi_\mathbf{X}(\mathbf{t}) = \mathbb{E}[e^{i (\mathbf{t}^\top \mathbf{X})}] = \phi_{\mathbf{t}^\top \mathbf{X}}(1) \]

即高维特征函数在点\(\mathbf{t}\)的值等于一维投影\(\mathbf{t}^\top \mathbf{X}\)的特征函数在点\(1\)的值。因此，若所有一维投影的特征函数相同，则高维特征函数完全相同，从而分布唯一确定。

  1. 定理的严格证明思路
  • 步骤1：由条件知对任意\(\mathbf{t} \in \mathbb{R}^d\)，有\(\phi_{\mathbf{t}^\top \mathbf{X}}(s) = \phi_{\mathbf{t}^\top \mathbf{Y}}(s)\)对所有\(s \in \mathbb{R}\)成立。
  • 步骤2：取\(s=1\)，得\(\phi_\mathbf{X}(\mathbf{t}) = \phi_\mathbf{Y}(\mathbf{t})\)对所有\(\mathbf{t}\)成立。
  • 步骤3：由特征函数的唯一性定理（Lévy连续性定理），推得\(\mathbf{X}\)与\(\mathbf{Y}\)同分布。
  1. 应用场景举例
  • 中心极限定理的推广：证明随机向量依分布收敛于多元正态分布时，仅需验证所有线性组合收敛于一维正态分布。
  • 假设检验：多元数据的分布比较可转化为一系列一维投影的检验。
  • 随机过程有限维分布确定：如布朗运动的有限维分布通过时间线性组合的性质定义。
  1. 注意事项
  • 定理要求所有可能方向\(\mathbf{t} \in \mathbb{R}^d\)，若仅限部分方向（如坐标轴）则结论不成立。例如，若只检验\(X_1 \stackrel{d}{=} Y_1\)和\(X_2 \stackrel{d}{=} Y_2\)，无法保证\((X_1,X_2)\)与\((Y_1,Y_2)\)同分布（可能因相关性不同而异）。
  • 定理在无限维空间有相应推广（如随机过程的分布由所有有限维投影确定）。
随机变量的变换的Cramér–Wold定理 基本动机 在概率论中，我们常需判断随机向量的分布性质。若直接研究高维随机向量的分布函数或特征函数，可能因维度灾难而困难。Cramér–Wold定理的核心思想是： 通过所有一维投影的分布来唯一确定高维随机向量的分布 。例如，要判断两个二维随机向量\((X_ 1,X_ 2)\)和\((Y_ 1,Y_ 2)\)是否同分布，无需比较联合分布函数，只需验证对任意方向\(\mathbf{t} \in \mathbb{R}^2\)，投影\(t_ 1X_ 1 + t_ 2X_ 2\)与\(t_ 1Y_ 1 + t_ 2Y_ 2\)同分布即可。 数学表述 设\(\mathbf{X} = (X_ 1, \dots, X_ d)\)和\(\mathbf{Y} = (Y_ 1, \dots, Y_ d)\)是\(d\)维随机向量。若对任意实向量\(\mathbf{t} = (t_ 1, \dots, t_ d) \in \mathbb{R}^d\)，有： \[ \sum_ {i=1}^d t_ i X_ i \stackrel{d}{=} \sum_ {i=1}^d t_ i Y_ i \] （即线性组合服从相同分布），则\(\mathbf{X} \stackrel{d}{=} \mathbf{Y}\)（联合分布相同）。 特征函数视角 随机向量的特征函数为\(\phi_ \mathbf{X}(\mathbf{t}) = \mathbb{E}[ e^{i \mathbf{t}^\top \mathbf{X}} ]\)。注意到： \[ \phi_ \mathbf{X}(\mathbf{t}) = \mathbb{E}[ e^{i (\mathbf{t}^\top \mathbf{X})}] = \phi_ {\mathbf{t}^\top \mathbf{X}}(1) \] 即高维特征函数在点\(\mathbf{t}\)的值等于一维投影\(\mathbf{t}^\top \mathbf{X}\)的特征函数在点\(1\)的值。因此，若所有一维投影的特征函数相同，则高维特征函数完全相同，从而分布唯一确定。 定理的严格证明思路 步骤1：由条件知对任意\(\mathbf{t} \in \mathbb{R}^d\)，有\(\phi_ {\mathbf{t}^\top \mathbf{X}}(s) = \phi_ {\mathbf{t}^\top \mathbf{Y}}(s)\)对所有\(s \in \mathbb{R}\)成立。 步骤2：取\(s=1\)，得\(\phi_ \mathbf{X}(\mathbf{t}) = \phi_ \mathbf{Y}(\mathbf{t})\)对所有\(\mathbf{t}\)成立。 步骤3：由特征函数的唯一性定理（Lévy连续性定理），推得\(\mathbf{X}\)与\(\mathbf{Y}\)同分布。 应用场景举例 中心极限定理的推广 ：证明随机向量依分布收敛于多元正态分布时，仅需验证所有线性组合收敛于一维正态分布。 假设检验 ：多元数据的分布比较可转化为一系列一维投影的检验。 随机过程有限维分布确定 ：如布朗运动的有限维分布通过时间线性组合的性质定义。 注意事项 定理要求 所有可能方向 \(\mathbf{t} \in \mathbb{R}^d\)，若仅限部分方向（如坐标轴）则结论不成立。例如，若只检验\(X_ 1 \stackrel{d}{=} Y_ 1\)和\(X_ 2 \stackrel{d}{=} Y_ 2\)，无法保证\((X_ 1,X_ 2)\)与\((Y_ 1,Y_ 2)\)同分布（可能因相关性不同而异）。 定理在无限维空间有相应推广（如随机过程的分布由所有有限维投影确定）。