可测函数序列的一致可积性 我们先从一致可积性的直观概念开始。想象你有一系列可积函数，它们虽然各自可积，但可能存在某些区域的积分值很大，而且这些"大积分值"出现的区域随着函数不同而变化。一致可积性要求这些函数在积分意义上是"表现一致"的：当考虑足够大的集合时，所有函数的积分值都很小。 1. 一致可积性的定义 设(Ω, 𝓕, μ)是一个测度空间，{fₙ}是一族可测函数。如果对于每个ε > 0，存在δ > 0，使得对任意可测集A满足μ(A) < δ，都有 ∫ₐ |fₙ|dμ < ε 对所有n成立 则称{fₙ}是一致可积的。 这个定义可以等价地表述为：对于每个ε > 0，存在可积函数g（通常取为常数函数），使得 supₙ ∫_ {|fₙ|>g} |fₙ|dμ < ε 2. 一致可积性的等价刻画 在有限测度空间上，一致可积性有几个等价的刻画方式： (1) 控制收敛条件：存在一个可积函数G，使得|fₙ| ≤ G对所有n几乎处处成立 (2) 积分一致绝对连续：lim_ {M→∞} supₙ ∫_ {|fₙ|>M} |fₙ|dμ = 0 (3) 一致有界性：supₙ ∫ |fₙ|dμ < ∞，且对任意ε > 0，存在δ > 0，使得μ(A) < δ ⇒ supₙ ∫ₐ |fₙ|dμ < ε 3. 一致可积性与收敛定理的关系 一致可积性在积分极限理论中起着关键作用。如果{fₙ}一致可积且fₙ → f几乎处处（或依测度），那么： f是可积的 ∫ fₙdμ → ∫ fdμ {fₙ}在L¹中收敛到f 这可以看作是控制收敛定理的推广，在控制收敛定理中需要存在一个一致控制函数，而一致可积性只要求函数族在积分意义下表现一致。 4. 一致可积性的判别准则 德·拉·瓦莱-普森准则：在有限测度空间上，{fₙ}一致可积当且仅当： supₙ ∫ |fₙ|dμ < ∞ 对任意不相交的可测集序列{Aₖ}，有lim_ {k→∞} supₙ ∫_ {Aₖ} |fₙ|dμ = 0 这个准则在实际验证中非常有用，它将一致可积性与函数族在"尾部"集合上的积分行为联系起来。 5. 一致可积性在概率论中的应用 在概率论中，一致可积性有更具体的表现形式。如果{Xₙ}是一致可积的随机变量序列，且Xₙ → X几乎必然，那么EXₙ → EX。这个结果在鞅论、大数定律等概率论分支中都有重要应用。