非线性规划中的修正拉格朗日法 我将为您详细讲解非线性规划中的修正拉格朗日法，这是一种重要的约束优化技术。 问题背景与基本概念 修正拉格朗日法（也称为乘子法）是求解带等式约束的非线性规划问题的重要方法。考虑标准形式： min f(x) s.t. h_ i(x) = 0, i = 1,...,m 其中f(x)和h_ i(x)都是连续可微函数。该方法是对标准拉格朗日函数的重要改进，通过引入惩罚项来增强算法的稳定性。 标准拉格朗日函数的局限性 标准拉格朗日函数为L(x,λ) = f(x) + Σλ_ i h_ i(x) 但其在鞍点处可能不是局部凸函数，这导致基于梯度的方法可能失效。具体来说，在最优解x 处，∇²_ {xx}L(x ,λ* )可能不是正定矩阵，这会破坏算法的收敛性。 修正拉格朗日函数的构造 修正拉格朗日函数定义为： M(x,λ,c) = f(x) + Σλ_ i h_ i(x) + (c/2)Σ[ h_ i(x) ]² 其中c > 0是惩罚参数。这个函数在原始拉格朗日函数基础上增加了二次惩罚项，这一改进确保了在适当的c值下，修正拉格朗日函数在最优解处具有局部凸性。 算法步骤详解 修正拉格朗日法的迭代过程如下： 步骤1：初始化λ⁰，选择c₀ > 0，设定容忍度ε > 0 步骤2：对于k = 0,1,2,...执行 a. 求解无约束子问题：x^k ≈ arg min M(x,λ^k,c_ k) b. 更新乘子：λ_ i^{k+1} = λ_ i^k + c_ k h_ i(x^k) c. 更新惩罚参数：根据需要增大c_ k d. 检查收敛条件：如果‖h(x^k)‖ < ε，停止迭代 收敛性分析 在适当条件下，该方法具有以下收敛性质： 全局收敛：在目标函数和约束函数满足一定光滑性和约束规格条件下，算法产生的序列收敛到KKT点 超线性收敛：在接近最优解时，乘子的更新会产生加速收敛效果 对惩罚参数c的依赖性相对较弱，不像罚函数法需要c趋于无穷大 与相关方法的比较 与增广拉格朗日法相比，修正拉格朗日法更注重通过二次惩罚项改善拉格朗日函数的凸性，而增广拉格朗日法则更强调对偶问题的光滑性。与罚函数法相比，修正拉格朗日法不需要惩罚参数趋于无穷就能收敛到精确解。 实际应用考虑 在实际应用中，需要仔细选择惩罚参数的更新策略，常用的有自适应调整策略。子问题的求解精度可以随着迭代逐步提高，初期可粗糙求解以节省计算量。该方法特别适用于等式约束占主导的优化问题。