复变函数的柯西-黎曼方程与调和函数的关系 柯西-黎曼方程的基本形式 对于复变函数 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \)，其中 \( z = x + iy \)，柯西-黎曼方程（Cauchy-Riemann Equations）的直角坐标形式为： \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}. \] 若函数在区域 \( D \) 内解析（全纯），则必须满足这些方程，且 \( u, v \) 具有连续的一阶偏导数。 调和函数的定义 若二元函数 \( \phi(x, y) \) 在区域 \( D \) 内满足 拉普拉斯方程 ： \[ \nabla^2 \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} = 0, \] 则称 \( \phi \) 为 \( D \) 内的调和函数。拉普拉斯方程的解具有“平均性质”，即函数在任一点的值等于其邻域圆周上的平均值。 解析函数的实部与虚部均为调和函数 对解析函数 \( f(z) = u + iv \)，若 \( u, v \) 的二阶偏导数连续且满足柯西-黎曼方程，则对 \( u \) 求二阶偏导： \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial v}{\partial y} \right), \quad \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -\frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial v}{\partial x} \right). \] 利用混合偏导数可交换（克莱罗定理），两式相加得： \[ \nabla^2 u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0. \] 同理可证 \( \nabla^2 v = 0 \)。因此， 解析函数的实部 \( u \) 和虚部 \( v \) 均为调和函数 。 共轭调和函数 若 \( u \) 和 \( v \) 是区域 \( D \) 内的调和函数，且满足柯西-黎曼方程，则称 \( v \) 是 \( u \) 的 共轭调和函数 。此时，\( u \) 和 \( v \) 通过柯西-黎曼方程相互确定（至多相差一个常数）。例如，已知 \( u(x, y) = x^2 - y^2 \)，可通过积分柯西-黎曼方程求得其共轭调和函数 \( v(x, y) = 2xy + C \)。 调和函数与解析函数的构造 给定一个调和函数 \( u \)，可通过柯西-黎曼方程构造共轭调和函数 \( v \)，从而得到解析函数 \( f = u + iv \)。具体步骤： 由 \( \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial x} \) 对 \( y \) 积分，得 \( v = \int \frac{\partial u}{\partial x} \, dy + g(x) \)； 代入 \( \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y} \) 确定 \( g(x) \)。 此方法在解决势场问题（如静电场、流体流动）中有重要应用。 几何与物理意义 等势线与场线正交 ：若 \( u \) 表示势函数，则 \( u = \text{常数} \) 为等势线，其共轭函数 \( v = \text{常数} \) 为场线（如电场线或流线），两者在柯西-黎曼方程保证下互相垂直。 共形映射 ：解析函数实现的映射保持角度，源于调和函数 \( u, v \) 的等值线网构成正交曲线坐标。