平行投影的几何性质与应用

我将从基础概念到具体应用，循序渐进地讲解平行投影的几何特性。

第一步：平行投影的基本定义
平行投影是指所有投影线都互相平行的投影方式。设空间中有一条方向向量v和一个投影平面π，对于任意点P，过P作直线L平行于v，L与π的交点P'就是P的平行投影。与中心投影不同，平行投影的投影中心在无穷远处。

第二步：平行投影的数学表达
在直角坐标系中，设投影方向向量v=(a,b,c)，投影平面π的法向量为n=(A,B,C)，平面方程为Ax+By+Cz+D=0。点P(x₀,y₀,z₀)在π上的投影点P'(x,y,z)满足：

1. P'在平面π上：Ax+By+Cz+D=0
2. 向量PP'与v平行：(x-x₀,y-y₀,z-z₀)=t(a,b,c)，t∈ℝ

第三步：平行投影的分类
根据投影方向与投影平面的关系：

• 正投影：投影方向v与投影平面π垂直（v∥n）
• 斜投影：投影方向v与投影平面π斜交（v∦n）

在斜投影中，根据投影方向与坐标轴夹角的不同，还可细分为等轴测投影、二测投影等。

第四步：平行投影的度量性质
平行投影保持以下几何关系不变：

1. 共线性：共线的点投影后仍共线
2. 平行性：平行的直线投影后仍平行
3. 简单比：直线上三点的简单比(AC/BC)保持不变
4. affine不变量：如线段中点、三角形重心等仿射概念保持不变

第五步：平行投影的变形特性
平行投影会改变以下几何量：

1. 长度：一般会使长度缩短，缩短比例与方向有关
2. 角度：除特殊方向外，一般角度会改变
3. 面积：面积会按固定比例缩小，比例因子为|cosθ|，θ为投影方向与平面法向的夹角

第六步：工程制图中的应用
在工程制图中，平行投影表现为：

• 正投影：三视图（主视图、俯视图、左视图）
• 轴测投影：等轴测图、二测图、三测图

以等轴测投影为例，三个坐标轴在投影面上的缩短比例相同（约0.82），且轴间角均为120°，能同时反映物体的长、宽、高三个方向的形状。

第七步：计算机图形学中的实现
在计算机图形学中，平行投影矩阵可表示为4×4齐次坐标变换矩阵。对于投影方向v=(vₓ,v_y,v_z)和投影平面z=0，投影矩阵为：

[1   0   -vₓ/v_z   0]
[0   1   -v_y/v_z   0]  
[0   0     0       0]
[0   0     0       1]

这个矩阵将三维点(x,y,z,1)变换为二维投影点(x - z·vₓ/v_z, y - z·v_y/v_z, 0, 1)。

平行投影因其计算简单、保持平行性的特点，在工程制图、建筑设计和计算机图形学中有着广泛应用。