二次型的正交群 我们先从二次型的基本概念开始。一个二次型是在一个域 \(F\) 上的向量空间 \(V\) 上的函数 \(Q: V \to F\)，满足： 对任意 \(a \in F\) 和 \(v \in V\)，有 \(Q(av) = a^2 Q(v)\)。 其对应的对称双线性形式 \(B(v, w) = \frac{1}{2}(Q(v+w) - Q(v) - Q(w))\) 是双线性的。 例如，在实数域 \(\mathbb{R}^2\) 上，\(Q(x, y) = x^2 + y^2\) 是一个二次型，其对应的双线性形式是标准点积。 接下来，我们定义二次型的正交群。设 \(Q\) 是向量空间 \(V\) 上的二次型。正交群 \(O(Q)\) 是所有保持 \(Q\) 的线性变换的集合： \[ O(Q) = \{ T \in \mathrm{GL}(V) \mid Q(Tv) = Q(v) \text{ 对所有 } v \in V \}. \] 换句话说，\(O(Q)\) 中的元素是 \(V\) 的自同构，且保持二次型的值不变。 例如，对于 \(Q(x, y) = x^2 + y^2\)，正交群 \(O(2, \mathbb{R})\) 包含所有旋转和反射，这些变换保持向量的长度不变。 为了更深入，我们考虑二次型的矩阵表示。固定 \(V\) 的一组基后，二次型 \(Q\) 可以写为 \(Q(v) = v^T A v\)，其中 \(A\) 是一个对称矩阵。此时，正交群 \(O(Q)\) 的元素对应于满足 \(T^T A T = A\) 的可逆矩阵 \(T\)。 例如，若 \(Q(x, y) = x^2 + y^2\)，则 \(A = I\)（单位矩阵），而 \(O(Q)\) 由满足 \(T^T T = I\) 的矩阵组成，即正交矩阵群。 正交群的结构依赖于域 \(F\) 和二次型的类型。如果 \(F = \mathbb{R}\) 且 \(Q\) 是正定的（即 \(Q(v) > 0\) 对所有非零 \(v\)），则 \(O(Q)\) 是紧李群。如果 \(Q\) 是不定的（如闵可夫斯基空间中的二次型），则 \(O(Q)\) 是非紧的。 在特征不为 2 的域上，正交群通常分为两个连通分支：一个包含行列式为 1 的变换（特殊正交群 \(SO(Q)\)），另一个包含行列式为 -1 的变换。 正交群在数学和物理中有广泛应用。在几何中，它描述空间的对称性；在数论中，正交群用于研究整数的二次型表示；在物理学中，洛伦兹群是闵可夫斯基空间二次型的正交群，是狭义相对论的基础。 总结来说，正交群是研究二次型对称性的核心工具，通过线性变换保持二次结构，连接了代数、几何和数学物理的多个领域。