分支定价法

分支定价法是求解大规模整数规划问题的一种精确算法，它结合了分支定界法和列生成技术的优势。我将从基础概念开始，逐步深入讲解这个方法的核心思想和实现步骤。

1. 问题背景与基本概念

   • 许多实际优化问题（如车辆路径、机组排班）可以建模为大规模整数规划问题
   • 这类问题的特点是变量数量极大，无法在内存中显式存储所有变量
   • 传统分支定界法面临"变量爆炸"问题，难以直接应用
   • 分支定价法的核心思想：只在需要时生成有希望的变量（列）

2. 列生成技术基础

   • 考虑整数规划的线性松弛问题
   • 即使变量数量巨大，大多数变量在最优解中取值为0
   • 列生成通过求解限制主问题和定价子问题来迭代改进解：
     • 限制主问题：只考虑当前活跃的变量子集
     • 定价子问题：寻找可能改善目标函数的新变量

3. 分支定价框架

   • 将分支定界与列生成结合：
     • 在每个节点求解限制主问题的线性松弛
     • 通过定价子问题寻找可能改善解的列
     • 如果找到改善列，加入限制主问题重新求解
     • 当无法找到改善列且解不满足整数性时，进行分支

4. 定价子问题的求解

   • 定价子问题通常是最短路、背包问题等组合优化问题
   • 通过计算简化成本（Reduced Cost）判断列的质量
   • 简化成本为负的列可能改善当前解
   • 需要高效算法（如动态规划）快速求解定价子问题

5. 分支策略的特殊考虑

   • 在列生成框架下，传统分支规则可能失效
   • 常用分支策略包括：
     • 基于原始变量的分支
     • Ryan-Foster分支（适用于集合划分/覆盖问题）
     • 基于资源约束的分支
   • 分支决策需要保证定价子问题仍可高效求解

6. 算法实现细节

   • 初始列生成：构建可行的初始列集合
   • 收敛性保证：确保定价过程能识别最优性
   • 数值稳定性处理：避免计算中的舍入误差累积
   • 终止条件：达到预设的最优间隙或时间限制

7. 应用实例分析

   • 车辆路径问题：列对应可行路径
   • 机组排班问题：列对应合法班次
   • 切割库存问题：列对应切割模式
   • 在这些应用中，分支定价法能有效处理传统方法难以解决的大规模实例

8. 算法扩展与变体

   • 分支定价切割法：加入有效不等式加强松弛
   • 并行分支定价：利用多核架构加速求解
   • 启发式列生成：快速获得高质量可行解
   • 鲁棒分支定价：处理数据不确定性

分支定价法通过智能地管理变量生成过程，成功解决了传统方法难以处理的大规模整数规划问题，在运筹学的许多实际应用中发挥着重要作用。