模的内射模 我们先从模的基本概念开始。模是环上的线性结构，可以看作向量空间的推广，但系数取自环而非域。设 \( R \) 是一个环，一个左 \( R \)-模 \( M \) 是一个交换群，配有数乘运算 \( R \times M \to M \) 满足分配律和结合律等公理。 在模论中，有一类特殊的模称为内射模。为了理解内射模，我们先回顾一下模同态和短正合序列的概念。一个短正合序列 \( 0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0 \) 意味着 \( f \) 是单同态，\( g \) 是满同态，且 \( \operatorname{im} f = \ker g \)。 内射模的定义基于提升性质：一个 \( R \)-模 \( I \) 称为内射模，如果对任意单同态 \( i: A \to B \) 和任意同态 \( h: A \to I \)，存在同态 \( \tilde{h}: B \to I \) 使得 \( \tilde{h} \circ i = h \)。换句话说，下图可交换： \[ \begin{array}{ccc} 0 & \longrightarrow & A \xrightarrow{i} B \\ & & \downarrow h \\ & & I \\ \end{array} \] 存在 \( \tilde{h} \) 使得 \( \tilde{h} \circ i = h \)。 内射模的一个重要刻画是 Baer 判别法：\( I \) 是内射模当且仅当对 \( R \) 的任意左理想 \( \mathfrak{a} \) 和同态 \( f: \mathfrak{a} \to I \)，存在同态 \( \tilde{f}: R \to I \) 使得 \( \tilde{f}|_ \mathfrak{a} = f \)。这将对任意模的测试简化为仅对理想测试。 内射模的另一个关键性质是，每个模都可以嵌入到一个内射模中。这通过构造模的内射包实现，即一个极小的内射模包含给定模。内射包在同构意义下唯一。 在范畴论语言中，内射模是内射对象，即 Hom 函子 \( \operatorname{Hom}_ R(-, I) \) 是正合函子。这意味着它将短正合序列变为短正合序列。 内射模在模的分解理论中起重要作用。例如，每个模有一个内射分解，即正合序列 \( 0 \to M \to I^0 \to I^1 \to \cdots \)，其中每个 \( I^i \) 是内射模。内射维数是内射分解的最短长度，用于研究环的同调维数。 内射模与投射模形成对偶概念，但性质常不对称。例如，在诺特环上，内射模的直和仍是内射，但投射模的直积不一定投射。