拉普拉斯算子的谱分解 我们先从拉普拉斯算子的定义开始。在n维欧几里得空间中，拉普拉斯算子作用于函数u上定义为该函数所有二阶偏导数之和：Δu = ∂²u/∂x₁² + ∂²u/∂x₂² + ... + ∂²u/∂xₙ²。这是一个重要的微分算子，出现在许多物理方程中，如热传导方程、波动方程和薛定谔方程。 现在考虑拉普拉斯算子在有界区域Ω上的作用，并配以适当的边界条件（如狄利克雷边界条件u|∂Ω = 0或诺伊曼边界条件∂u/∂n|∂Ω = 0）。在这种情况下，拉普拉斯算子具有离散谱，即存在一列递增趋于无穷的实数{λₖ}（称为特征值）和对应的函数{φₖ}（称为特征函数），满足Δφₖ = -λₖφₖ，且φₖ满足给定的边界条件。 谱分解的核心思想是：任何满足边界条件的函数f都可以展开为这些特征函数的线性组合，即f(x) = Σₖ cₖφₖ(x)，其中系数cₖ由f与φₖ的内积确定。从算子角度看，这相当于将拉普拉斯算子表示为Δ = Σₖ (-λₖ)Pₖ，这里Pₖ是到特征函数空间上的投影算子。 让我们进一步探讨特征函数的性质。在狄利克雷边界条件下，所有特征值都是正的（λₖ > 0），且特征函数构成一个完备正交系。这意味着任意两个不同的特征函数在区域Ω上的积分∫Ω φₖφₗ dx = 0（当k≠l时），而整个函数集合{φₖ}张成了所有满足边界条件的函数的空间。 现在考虑谱分解的应用。通过特征函数展开，我们可以将偏微分方程的求解问题转化为常微分方程的求解。例如，对于热传导方程∂u/∂t = Δu，若初始条件为u(x,0) = f(x)，则解可表示为u(x,t) = Σₖ cₖ e^{-λₖt}φₖ(x)，其中cₖ是f按{φₖ}展开的系数。这种表示清晰地显示了不同模式随时间指数衰减的行为，且衰减速率由特征值λₖ决定。 对于拉普拉斯算子的谱分析，有一个重要结果：当区域Ω的几何形状给定时，特征值的分布遵循特定的渐近规律。根据韦尔渐近公式，对于二维区域，特征值λₖ的增长满足λₖ ∼ 4πk/|Ω|（当k→∞时），其中|Ω|是区域的面积。这个公式建立了算子的谱特性与区域几何性质之间的深刻联系。 在更一般的黎曼流形上，拉普拉斯算子的谱分解仍然是研究的重点。此时，谱可能包含离散部分和连续部分，特征函数展开也相应地推广为谱测度下的积分。这种推广的谱分解在量子力学中尤为重要，为研究薛定谔算子的性质提供了强大工具。