复变函数的庞加莱度量 我们先从双曲几何的基本概念开始。在复平面上的单位圆盘 \( \mathbb{D} = \{ z \in \mathbb{C} : |z| < 1 \} \) 中，可以定义一种非欧几里得度量。这种度量的黎曼形式为： \[ ds = \frac{2|dz|}{1 - |z|^2} \] 该度量的关键特性在于它在分式线性变换下具有不变性。具体来说，若 \( \phi: \mathbb{D} \to \mathbb{D} \) 是解析自同构，则对任意 \( z \in \mathbb{D} \) 和向量 \( v \)，满足： \[ \frac{2|\phi'(z)v|}{1 - |\phi(z)|^2} = \frac{2|v|}{1 - |z|^2} \] 这一性质体现了度量的共形不变性，即角度保持不变，但长度和面积按曲率调整。 接下来，我们通过施瓦茨引理进一步理解该度量的几何意义。经典施瓦茨引理指出：若 \( f: \mathbb{D} \to \mathbb{D} \) 解析且 \( f(0) = 0 \)，则 \( |f'(0)| \leq 1 \)。若引入庞加莱度量，该结论可强化为： \[ \frac{|f'(z)|}{1 - |f(z)|^2} \leq \frac{1}{1 - |z|^2} \] 这表明解析映射在庞加莱度量下是收缩的。此性质可推广到多连通区域，例如穿孔圆盘 \( \mathbb{D}^* = \{ 0 < |z| < 1 \} \) 的万有覆盖空间上建立的庞加莱度量，其曲率恒为 \(-1\)。 最后，我们探讨该度量在复动力系统中的应用。在茹利亚集的研究中，庞加莱度量可用于分析周期点的稳定性和系统的混沌行为。例如，在双曲茹利亚集上，庞加莱度量提供的距离函数使得迭代映射成为一致扩张映射，从而揭示动力系统的遍历性质。