模的根与根零化子 我们先从模的基本概念开始。一个模是环上的向量空间的推广。设 \( R \) 是一个环，\( M \) 是一个左 \( R \)-模。模的根（Jacobson根）是模的一个子结构，它捕捉了模的“小”或“可忽略”部分。 第一步：定义模的根 模 \( M \) 的根，记作 \( \operatorname{Rad}(M) \)，定义为 \( M \) 的所有极大子模的交集。如果 \( M \) 没有极大子模，则定义 \( \operatorname{Rad}(M) = M \)。直观上，根包含了模中所有可以被“忽略”的元素，因为它们在每个极大商模中为零。 第二步：根零化子的引入 根零化子是与根相关的概念。对于模 \( M \)，其根零化子是一个理想，定义为 \( \operatorname{Ann}_ R(\operatorname{Rad}(M)) = \{ r \in R \mid r \cdot \operatorname{Rad}(M) = 0 \} \)。它表示环中那些将整个根映射到零的元素集合。根零化子有助于研究模与环的相互作用，特别是在分解和结构定理中。 第三步：根零化子的性质 根零化子具有以下关键性质： 它是 \( R \) 的一个理想，并且是双边的，因为左乘和右乘运算在根上一致。 如果 \( M \) 是有限生成的，则 \( \operatorname{Rad}(M) \) 是小的（在模论意义上），并且根零化子与模的分解行为相关，例如在局部环上的模理论中。 根零化子可用于刻画模的半单性：如果 \( \operatorname{Ann}_ R(\operatorname{Rad}(M)) = R \)，则 \( M \) 可能是半单的，但这取决于环的性质。 第四步：应用与例子 考虑一个具体例子：设 \( R \) 是一个局部环，其极大理想为 \( \mathfrak{m} \)，并令 \( M = R/\mathfrak{m} \) 作为 \( R \)-模。那么 \( \operatorname{Rad}(M) = M \)（因为 \( M \) 是单模，没有真子模），根零化子为 \( \operatorname{Ann}_ R(M) = \mathfrak{m} \)。这显示了根零化子如何与环的局部结构相关联。在更一般的设置中，根零化子用于研究模的不可分解分量和环的表示理论。 总结来说，模的根和根零化子提供了分析模结构的重要工具，通过研究这些概念，可以深入理解模的分解和环的性质。