数学物理方程中的特征值问题与斯图姆-刘维尔理论 我们先从特征值问题的基本概念开始。在数学物理中，许多偏微分方程通过分离变量法可转化为形如： $$ Ly(x) = \lambda w(x)y(x) $$ 的常微分方程，其中 $L$ 是线性微分算子，$w(x)$ 是权函数，$\lambda$ 是待定参数。这类问题要求寻找使方程满足特定边界条件的非零解 $y(x)$ 及对应的 $\lambda$。 接下来介绍斯图姆-刘维尔问题的标准形式。它写作： $$ \frac{d}{dx}\left[ p(x)\frac{dy}{dx}\right] + [ q(x) + \lambda w(x)]y = 0, \quad a < x < b $$ 伴随边界条件： $$ \alpha_ 1 y(a) + \alpha_ 2 y'(a) = 0, \quad \beta_ 1 y(b) + \beta_ 2 y'(b) = 0 $$ 其中 $p(x)>0$, $w(x)>0$，且 $p,p',q,w$ 连续。 现在深入分析该问题的数学性质。所有特征值构成实数序列 $\lambda_ 1 \leq \lambda_ 2 \leq \cdots$，且当 $n\rightarrow\infty$ 时 $\lambda_ n \rightarrow \infty$。每个特征值 $\lambda_ n$ 对应唯一的（归一化）特征函数 $y_ n(x)$，这些特征函数在加权内积空间构成完备正交系： $$ \int_ a^b y_ m(x)y_ n(x)w(x)dx = \delta_ {mn} $$ 进一步讨论其谱分解性质。任意满足边界条件的函数可展开为特征函数级数： $$ f(x) = \sum_ {n=1}^\infty c_ n y_ n(x), \quad c_ n = \int_ a^b f(x)y_ n(x)w(x)dx $$ 该展开在均方收敛意义下成立，为求解偏微分方程提供了函数基底。 最后考察其在物理中的应用案例。波动方程、热传导方程经分离变量后均导至斯图姆-刘维尔问题。例如振动弦的本征频率对应 $\lambda_ n$，本征模态即 $y_ n(x)$。该理论通过将微分算子转化为乘法算子，为线性系统分析提供了完备的数学框架。