索末菲-库默尔函数的威格纳-史密斯延迟时间矩阵的谱分解分析（续十七）

我们继续深入探讨索末菲-库默尔函数在威格纳-史密斯延迟时间矩阵谱分解中的分析。本次重点讨论谱分解在非均匀介质传播问题中的渐近行为。

1. 非均匀介质中的传播模型
   • 考虑波动在折射率缓变的介质中传播，此时亥姆霍兹方程可写为：

\[ \nabla^2 \psi + k_0^2 n^2(\mathbf{r}) \psi = 0 \]

其中 \(n(\mathbf{r})\) 为空间变化的折射率。

• 通过引入缓变包络近似，可将问题转化为沿传播方向的抛物型方程，其本征模由修正的索末菲-库默尔函数描述。

2. 谱分解的修正形式
   • 在非均匀介质中，威格纳-史密斯延迟时间矩阵 \(\mathbf{Q}\) 的谱分解需考虑折射率梯度的影响：

\[ \mathbf{Q} = \sum_m \lambda_m \int \Phi_m(\mathbf{r}) \Psi_m^*(\mathbf{r}') n^2(\mathbf{r}') d\mathbf{r}' \]

其中 \(\Phi_m\) 和 \(\Psi_m\) 分别为左、右本征函数，满足非均匀介质中的广义本征方程。

• 索末菲-库默尔函数在此处体现为连接不同折射率区域传播模的渐近匹配函数。

3. 渐近匹配与边界层分析
   • 在折射率突变界面附近，需通过索末菲-库默尔函数的渐近展开进行边界层分析：

\[ \psi(z) \sim \mathrm{C}(a, \zeta) e^{i k_0 S(z)} + \mathrm{D}(a, \zeta) e^{-i k_0 S(z)} \]

其中 \(\zeta = \int n(z) dz\) 为光学路径长度，\(\mathrm{C}, \mathrm{D}\) 为由索末菲-库默尔函数确定的系数。

• 通过匹配内外解，可得到传播常数的修正项，进而修正延迟时间矩阵的谱值。

4. 谱密度的梯度修正
   • 非均匀性导致谱密度函数 \(\rho(\lambda)\) 出现梯度修正项：

\[ \rho(\lambda) = \rho_0(\lambda) + \frac{1}{k_0^2} \rho_1(\lambda) + O(k_0^{-4}) \]

其中 \(\rho_1(\lambda)\) 与折射率梯度的平方成正比，可通过索末菲-库默尔函数的高阶渐近展开求得。

5. 应用：波导耦合器的延迟时间调控
   • 在非均匀波导耦合器中，通过设计折射率分布 \(n(z)\)，利用上述谱分解结果可精确计算不同模式的延迟时间差。
   • 具体实现中，需数值求解修正的本征方程，并利用索末菲-库默尔函数的渐近表达式加速计算。