复变函数的柯西-黎曼方程与复可微性
- 复可微性的基本定义
在实函数中，可微性要求函数在某点的增量与自变量增量呈线性关系。对于复变函数 \(f(z) = u(x,y) + iv(x,y)\)（其中 \(z = x + iy\)），复可微性要求极限
\[ \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z+\Delta z) - f(z)}{\Delta z} \]
存在且与 \(\Delta z\) 趋近于 0 的路径无关。这一严格条件意味着复可微性远强于实函数的可微性。
- 柯西-黎曼方程的推导
设 \(\Delta z = \Delta x + i\Delta y\)，考虑两种特殊路径：- 水平路径（\(\Delta y = 0\)）：导数为
\[ f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x}. \]
- 垂直路径（\(\Delta x = 0\)）：导数为
\[ f'(z) = \frac{\partial v}{\partial y} - i\frac{\partial u}{\partial y}. \]
令两式实部与虚部分别相等，即得柯西-黎曼方程：
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}. \]
- 柯西-黎曼方程的几何意义
柯西-黎曼方程等价于函数在一点处的雅可比矩阵形式为
\[ \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}, \]
即一个旋转缩放变换。这表明复可微函数在该点附近保持角度和方向（保角性），解释了复变函数与共形映射的深刻联系。
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复可微性的充要条件
若 \(u(x,y)\) 和 \(v(x,y)\) 在一点处可微（作为实函数），且满足柯西-黎曼方程，则 \(f(z)\) 在该点复可微。这一结论将复可微性转化为实可微性与一组微分方程的联合条件。 -
柯西-黎曼方程的极坐标形式
在极坐标 \(z = re^{i\theta}\) 下，柯西-黎曼方程变为：
\[ \frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta}, \quad \frac{\partial v}{\partial r} = -\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}. \]
此形式在分析具有旋转对称性的函数时更为便捷。
- 复可微性与解析性的关系
若 \(f(z)\) 在区域内每一点均复可微，则称其为该区域内的解析函数。解析性要求函数不仅在某点可微，且在该点的邻域内可微，这为泰勒级数展开等深入性质奠定了基础。