复变函数的柯西不等式与幂级数展开收敛性 我们先从最基础的幂级数概念开始。在复分析中，幂级数是指形如∑_ {n=0}^∞ a_ n(z-z_ 0)^n的级数，其中a_ n是复系数，z_ 0是展开中心。这种级数在复平面上具有圆盘状的收敛区域。 接下来考虑收敛半径的概念。对于任意幂级数，存在唯一的收敛半径R（0≤R≤∞），使得： 当|z-z_ 0| <R时，级数绝对收敛 当|z-z_ 0|>R时，级数发散 这个收敛圆盘|z-z_ 0| <R称为收敛圆。 现在我们来建立柯西不等式与收敛半径的联系。设f(z)在圆盘|z-z_ 0|<R内解析，那么f(z)可展开为泰勒级数∑ {n=0}^∞ a_ n(z-z_ 0)^n，其中系数a_ n=f^(n)(z_ 0)/n!。柯西不等式指出：对于任意0<r <R，有 |a_ n| ≤ M(r)/r^n 这里M(r)=max {|z-z_ 0|=r}|f(z)|是f在圆周|z-z_ 0|=r上的最大模。 这个不等式的证明基于柯西积分公式。由柯西积分公式，a_ n=(1/2πi)∮ {|ζ-z_ 0|=r} f(ζ)/(ζ-z_ 0)^{n+1}dζ。取模得到|a_ n|≤(1/2π)∮ {|ζ-z_ 0|=r}|f(ζ)|/|ζ-z_ 0|^{n+1}|dζ|≤M(r)/r^n。 柯西不等式的一个重要应用是证明解析函数的幂级数在其收敛圆内内闭一致收敛。具体来说，如果幂级数的收敛半径为R，那么对于任意紧子集K⊂{z:|z-z_ 0| <R}，级数在K上一致收敛。 收敛半径的计算有几种经典方法。柯西-阿达马公式给出：1/R=limsup_ {n→∞}|a_ n|^{1/n}。当极限存在时，也可用比值法：R=lim_ {n→∞}|a_ n/a_ {n+1}|。 最后，我们考虑边界行为。即使幂级数在收敛圆内处处收敛，在边界|z-z_ 0|=R上的行为可能十分复杂：在某些点可能收敛，在另一些点可能发散，这取决于函数的解析性质。收敛圆周上必须包含至少一个奇点，这是由幂级数的性质决定的。