模的Jacobson根

我将从基础概念开始，循序渐进地讲解模的Jacobson根理论。

1. 环的Jacobson根回顾

   • 首先回忆环R的Jacobson根J(R)定义为R中所有极大左理想的交
   • 等价地，J(R) = {x∈R | 对任意r∈R, 1-rx有左逆}
   • 这个根是幂零元的推广，包含了环的"非半单部分"

2. 模的Jacobson根定义

   • 设M是左R-模，定义M的Jacobson根Rad(M)为M的所有极大子模的交
   • 如果M没有极大子模，约定Rad(M) = M
   • 直观理解：Rad(M)包含了M中所有"冗余"元素，是模的"奇异部分"

3. 基本性质

   • Rad(M)是M的子模
   • 对任意模同态f: M→N，有f(Rad(M)) ⊆ Rad(N)
   • Rad(M/Rad(M)) = 0，即商模M/Rad(M)是半单模的直积

4. 与环Jacobson根的关系

   • 对循环模R/a，有Rad(R/a) = J(R)/a
   • 特别地，Rad(R) = J(R)，环作为正则模的Jacobson根就是环的Jacobson根
   • 对任意模M，J(R)M ⊆ Rad(M)

5. Nakayama引理的模版本

   • 如果M是有限生成模，N是子模满足N + J(R)M = M，则N = M
   • 等价表述：有限生成模M，如果J(R)M = M，则M = 0
   • 这是模论中最重要的技术性引理之一

6. 半单模的特征

   • 模M是半单的当且仅当Rad(M) = 0
   • 半单模可以分解为单模的直和
   • Rad(M)衡量了模偏离半单性的程度

7. 投射模与Jacobson根

   • 如果P是投射模，则Rad(P) = J(R)P
   • 投射盖的概念：满同态f: P→M，其中P是投射模，Ker(f) ⊆ Rad(P)
   • 投射盖在某种意义上是模的"最小投射逼近"

8. Artinian模的情况

   • 如果M是Artinian模，则Rad(M)是幂零的
   • 存在n使得(J(R))ⁿM = 0
   • 这建立了与环的Wedderburn-Artin理论的联系

模的Jacobson根理论为理解模的结构，特别是有限生成模在Artinian环上的结构，提供了基础工具。