可测函数的等度可积性与一致可积性的关系 我们先从一致可积性的定义开始。设 \( (X, \mathcal{F}, \mu) \) 是一个测度空间，且 \( \mu(X) < \infty \)。一个函数族 \( \{f_ n\} \subset L^1(\mu) \) 称为一致可积的，如果对于任意 \( \epsilon > 0 \)，存在 \( \delta > 0 \) 使得对任意可测集 \( A \) 满足 \( \mu(A) < \delta \)，有： \[ \sup_ n \int_ A |f_ n| \, d\mu < \epsilon \] 同时要求函数族是一致绝对连续的。这个定义的核心是，积分在测度很小的集合上可以一致地控制。 接下来看等度可积性。在实变函数中，等度可积性通常要求存在一个非负可积函数 \( g \) 使得对所有 \( n \) 有 \( |f_ n| \leq g \) 几乎处处成立。这称为被一个可积函数控制。但更一般的等度可积性定义是：对任意 \( \epsilon > 0 \)，存在可测函数 \( g_ \epsilon \in L^1 \) 使得： \[ \sup_ n \int_ {\{|f_ n| > g_ \epsilon\}} |f_ n| \, d\mu < \epsilon \] 这意味着函数值较大的部分对积分的贡献可以一致地小。 现在我们来分析两者的关系。首先，如果 \( \{f_ n\} \) 是等度可积的，那么它一定是一致可积的。这是因为等度可积性允许我们通过选择适当的 \( g_ \epsilon \) 来控制函数在较大值处的积分，再结合 \( L^1 \) 有界性（等度可积蕴含 \( L^1 \) 有界），可以推导出一致可积性要求的一致绝对连续性。 反过来，一致可积性是否蕴含等度可积性呢？在有限测度空间中，如果 additionally 假设 \( \{f_ n\} \) 是 \( L^1 \) 有界的，那么一致可积性确实蕴含等度可积性。我们可以构造一个函数 \( g_ \epsilon \) 来控制那些使 \( |f_ n| \) 很大的点，利用一致可积性保证这些点集的测度很小，从而积分值一致小。 然而，在无限测度空间中，关系更为微妙。一致可积性主要关注在测度小的集合上积分的一致小性，而等度可积性还要求函数族在无穷远处的行为一致可控。因此，在无限测度情况下，一致可积性不一定蕴含等度可积性，除非附加其他条件如紧支撑一致性或某种紧性条件。 总结来说，在有限测度空间且 \( L^1 \) 有界的条件下，一致可积性与等度可积性是等价的。但在一般测度空间中，等度可积性更强，它蕴含一致可积性，但反过来不一定成立。这个关系在概率论和泛函分析中研究函数列收敛性时尤为重要，比如在刻画 \( L^1 \) 收敛的各种等价条件中。