模n的k次剩余

字数 2513 2025-11-23 10:40:02

模n的k次剩余

我将为你讲解模n的k次剩余的概念。这是一个在数论中研究高次同余方程解的存在性和结构的重要概念。

1. 基本定义

设$n$、$k$为正整数，$a$为与$n$互素的整数。如果同余方程

\[x^k \equiv a \pmod{n} \]

有解，则称$a$是模$n$的$k$次剩余。如果无解，则称$a$是模$n$的$k$次非剩余。

当$k=2$时，这就是我们熟悉的二次剩余概念。因此，$k$次剩余是二次剩余的推广。

2. 模素数p的情形

首先考虑$n=p$为奇素数的情形，这是最基本也是最重要的情形。

2.1 存在性判据

设$p$为奇素数，$p \nmid a$，$d = \gcd(k, p-1)$。那么$a$是模$p$的$k$次剩余当且仅当

\[a^{(p-1)/d} \equiv 1 \pmod{p} \]

证明思路：设$g$是模$p$的一个原根，则$a \equiv g^u \pmod{p}$，$x \equiv g^v \pmod{p}$。原方程变为$g^{kv} \equiv g^u \pmod{p}$，即$kv \equiv u \pmod{p-1}$。这个线性同余方程有解当且仅当$d \mid u$，即$u = dt$。此时$a^{(p-1)/d} \equiv g^{u(p-1)/d} \equiv g^{dt(p-1)/d} \equiv (g^{p-1})^t \equiv 1 \pmod{p}$。

2.2 解的个数

如果$a$是模$p$的$k$次剩余，那么同余方程$x^k \equiv a \pmod{p}$恰好有$d = \gcd(k, p-1)$个解。

证明：沿用上面的记号，方程$kv \equiv u \pmod{p-1}$有解时，解数等于$\gcd(k, p-1) = d$。

3. 模素数幂p^α的情形

现在考虑$n = p^α$，其中$p$为奇素数，$α \geq 1$。

3.1 Hensel引理的应用

如果$a$是模$p$的$k$次剩余，并且在模$p$的解$x_0$处有$p \nmid kx_0^{k-1}$，那么$a$也是模$p^α$的$k$次剩余，并且解可以唯一提升到模$p^α$。

具体来说，如果$x_1$满足$x_1^k \equiv a \pmod{p}$，并且$p \nmid kx_1^{k-1}$，那么存在唯一的$x \pmod{p^α}$使得$x^k \equiv a \pmod{p^α}$且$x \equiv x_1 \pmod{p}$。

3.2 特殊情况p=2

模$2^α$的$k$次剩余需要单独讨论，情况较为复杂：

当$α=1$时，只有$a \equiv 1 \pmod{2}$是$k$次剩余
当$α=2$时，只有$a \equiv 1 \pmod{4}$是$k$次剩余
当$α \geq 3$时，需要根据$k$的奇偶性分别讨论

4. 模一般合数n的情形

设$n = p_1^{α_1}p_2^{α_2} \cdots p_r^{α_r}$是$n$的标准分解。

4.1 中国剩余定理的应用

$a$是模$n$的$k$次剩余当且仅当$a$是模每个$p_i^{α_i}$的$k$次剩余。

进一步，如果对每个$i$，同余方程$x^k \equiv a \pmod{p_i^{α_i}}$有$N_i$个解，那么原方程模$n$的解数为

\[N = \prod_{i=1}^r N_i \]

5. k次剩余符号

类似于勒让德符号和雅可比符号，对于$k$次剩余也有相应的符号。

5.1 幂剩余符号

设$p$为奇素数，$p \nmid a$，定义$k$次幂剩余符号为：

\[\left(\frac{a}{p}\right)_k = a^{(p-1)/d} \pmod{p} \]

其中$d = \gcd(k, p-1)$。这个值落在单位根的$d$次根群中。

$a$是模$p$的$k$次剩余当且仅当$\left(\frac{a}{p}\right)_k = 1$。

5.2 互反律

对于$k$次幂剩余符号，也有相应的互反律，但比二次互反律复杂得多。当$k$是素数时，有：

\[\left(\frac{a}{b}\right)_k \left(\frac{b}{a}\right)_k^{-1} = (a,b)_k \]

其中$(a,b)_k$是$k$次希尔伯特符号。

6. 应用举例

例1：判断$2$是否是模$17$的$4$次剩余。

这里$p=17$，$k=4$，$d = \gcd(4,16) = 4$。计算：

\[2^{(17-1)/4} = 2^4 = 16 \equiv -1 \not\equiv 1 \pmod{17} \]

因此$2$不是模$17$的$4$次剩余。

例2：求解$x^3 \equiv 5 \pmod{7}$。

这里$p=7$，$k=3$，$d = \gcd(3,6) = 3$。首先验证$5$是否是$3$次剩余：

\[5^{(7-1)/3} = 5^2 = 25 \equiv 4 \not\equiv 1 \pmod{7} \]

因此$5$不是模$7$的$3$次剩余，方程无解。

例3：求解$x^4 \equiv 13 \pmod{17}$。

这里$p=17$，$k=4$，$d = \gcd(4,16) = 4$。验证：

\[13^{(17-1)/4} = 13^4 = (13^2)^2 = 169^2 \equiv 16^2 = 256 \equiv 1 \pmod{17} \]

因此$13$是模$17$的$4$次剩余。通过计算可得解为$x \equiv 8, 9 \pmod{17}$（因为$8^4 = 4096 \equiv 13 \pmod{17}$，$9^4 = 6561 \equiv 13 \pmod{17}$）。

模$n$的$k$次剩余理论在编码理论、密码学和计算数论中都有重要应用，特别是研究高次互反律和类域论的基础。

模n的k次剩余我将为你讲解模n的k次剩余的概念。这是一个在数论中研究高次同余方程解的存在性和结构的重要概念。 1. 基本定义设$n$、$k$为正整数，$a$为与$n$互素的整数。如果同余方程 \[ x^k \equiv a \pmod{n} \] 有解，则称$a$是模$n$的$k$次剩余。如果无解，则称$a$是模$n$的$k$次非剩余。当$k=2$时，这就是我们熟悉的二次剩余概念。因此，$k$次剩余是二次剩余的推广。 2. 模素数p的情形首先考虑$n=p$为奇素数的情形，这是最基本也是最重要的情形。 2.1 存在性判据设$p$为奇素数，$p \nmid a$，$d = \gcd(k, p-1)$。那么$a$是模$p$的$k$次剩余当且仅当 \[ a^{(p-1)/d} \equiv 1 \pmod{p} \] 证明思路：设$g$是模$p$的一个原根，则$a \equiv g^u \pmod{p}$，$x \equiv g^v \pmod{p}$。原方程变为$g^{kv} \equiv g^u \pmod{p}$，即$kv \equiv u \pmod{p-1}$。这个线性同余方程有解当且仅当$d \mid u$，即$u = dt$。此时$a^{(p-1)/d} \equiv g^{u(p-1)/d} \equiv g^{dt(p-1)/d} \equiv (g^{p-1})^t \equiv 1 \pmod{p}$。 2.2 解的个数如果$a$是模$p$的$k$次剩余，那么同余方程$x^k \equiv a \pmod{p}$恰好有$d = \gcd(k, p-1)$个解。证明：沿用上面的记号，方程$kv \equiv u \pmod{p-1}$有解时，解数等于$\gcd(k, p-1) = d$。 3. 模素数幂p^α的情形现在考虑$n = p^α$，其中$p$为奇素数，$α \geq 1$。 3.1 Hensel引理的应用如果$a$是模$p$的$k$次剩余，并且在模$p$的解$x_ 0$处有$p \nmid kx_ 0^{k-1}$，那么$a$也是模$p^α$的$k$次剩余，并且解可以唯一提升到模$p^α$。具体来说，如果$x_ 1$满足$x_ 1^k \equiv a \pmod{p}$，并且$p \nmid kx_ 1^{k-1}$，那么存在唯一的$x \pmod{p^α}$使得$x^k \equiv a \pmod{p^α}$且$x \equiv x_ 1 \pmod{p}$。 3.2 特殊情况p=2 模$2^α$的$k$次剩余需要单独讨论，情况较为复杂：当$α=1$时，只有$a \equiv 1 \pmod{2}$是$k$次剩余当$α=2$时，只有$a \equiv 1 \pmod{4}$是$k$次剩余当$α \geq 3$时，需要根据$k$的奇偶性分别讨论 4. 模一般合数n的情形设$n = p_ 1^{α_ 1}p_ 2^{α_ 2} \cdots p_ r^{α_ r}$是$n$的标准分解。 4.1 中国剩余定理的应用 $a$是模$n$的$k$次剩余当且仅当$a$是模每个$p_ i^{α_ i}$的$k$次剩余。进一步，如果对每个$i$，同余方程$x^k \equiv a \pmod{p_ i^{α_ i}}$有$N_ i$个解，那么原方程模$n$的解数为 \[ N = \prod_ {i=1}^r N_ i \] 5. k次剩余符号类似于勒让德符号和雅可比符号，对于$k$次剩余也有相应的符号。 5.1 幂剩余符号设$p$为奇素数，$p \nmid a$，定义$k$次幂剩余符号为： \[ \left(\frac{a}{p}\right)_ k = a^{(p-1)/d} \pmod{p} \] 其中$d = \gcd(k, p-1)$。这个值落在单位根的$d$次根群中。 $a$是模$p$的$k$次剩余当且仅当$\left(\frac{a}{p}\right)_ k = 1$。 5.2 互反律对于$k$次幂剩余符号，也有相应的互反律，但比二次互反律复杂得多。当$k$是素数时，有： \[ \left(\frac{a}{b}\right)_ k \left(\frac{b}{a}\right)_ k^{-1} = (a,b)_ k \] 其中$(a,b)_ k$是$k$次希尔伯特符号。 6. 应用举例例1 ：判断$2$是否是模$17$的$4$次剩余。这里$p=17$，$k=4$，$d = \gcd(4,16) = 4$。计算： \[ 2^{(17-1)/4} = 2^4 = 16 \equiv -1 \not\equiv 1 \pmod{17} \] 因此$2$不是模$17$的$4$次剩余。例2 ：求解$x^3 \equiv 5 \pmod{7}$。这里$p=7$，$k=3$，$d = \gcd(3,6) = 3$。首先验证$5$是否是$3$次剩余： \[ 5^{(7-1)/3} = 5^2 = 25 \equiv 4 \not\equiv 1 \pmod{7} \] 因此$5$不是模$7$的$3$次剩余，方程无解。例3 ：求解$x^4 \equiv 13 \pmod{17}$。这里$p=17$，$k=4$，$d = \gcd(4,16) = 4$。验证： \[ 13^{(17-1)/4} = 13^4 = (13^2)^2 = 169^2 \equiv 16^2 = 256 \equiv 1 \pmod{17} \] 因此$13$是模$17$的$4$次剩余。通过计算可得解为$x \equiv 8, 9 \pmod{17}$（因为$8^4 = 4096 \equiv 13 \pmod{17}$，$9^4 = 6561 \equiv 13 \pmod{17}$）。模$n$的$k$次剩余理论在编码理论、密码学和计算数论中都有重要应用，特别是研究高次互反律和类域论的基础。