分析学词条：控制收敛定理 控制收敛定理是实分析和测度论中的基本定理，描述了在积分号下取极限的条件。我将从基础概念开始，逐步深入讲解这个重要定理。 首先需要理解积分与极限交换的问题。考虑一列可测函数 {fₙ}，如果 lim fₙ = f，我们想知道是否也有 ∫lim fₙ = lim∫fₙ。在黎曼积分中，即使函数列一致收敛，这个等式也不总是成立。但在勒贝格积分框架下，控制收敛定理提供了确保这种交换成立的充分条件。 控制收敛定理的标准形式是：设 {fₙ} 是一列可测函数，如果存在可积函数 g（称为控制函数），使得对所有 n 和几乎所有 x，有 |fₙ(x)| ≤ g(x)，且 lim fₙ(x) = f(x) 几乎处处成立，那么 f 可积，且 ∫lim fₙ = lim∫fₙ。 为了深入理解这个定理，我需要解释几个关键概念。可测函数是指原像保持可测性的函数，这是勒贝格积分理论的基础。几乎处处收敛意味着函数列在不满足收敛的点集上的测度为零，这比处处收敛更弱，但足以保证许多极限性质。 控制函数 g 必须是可积的，即 ∫|g|dμ < ∞。这个控制条件确保了函数列 {fₙ} 不会在测度很大的区域上取过大的值，从而保证了积分的一致有界性。 控制收敛定理的证明思路通常分为几步：首先由法图引理得到 ∫|f|dμ ≤ liminf∫|fₙ|dμ；然后考虑函数列 2g - |fₙ - f|，再次应用法图引理，最终得到 limsup∫|fₙ - f|dμ = 0，从而完成证明。 控制收敛定理有许多重要应用。在概率论中，它保证了期望与极限的交换；在傅里叶分析中，它用于证明各种收敛性质；在微分方程理论中，它帮助建立解的存在性。这个定理也是研究L^p空间和索伯列夫空间的基础工具之一。 控制收敛定理还有几个相关但条件不同的变体。有界收敛定理要求函数列一致有界且定义在有限测度集上；单调收敛定理处理单调递增的非负函数列；而法图引理则提供了积分下极限的不等式关系。这些定理共同构成了勒贝格积分理论中极限与积分交换的核心工具。