曲面的共轭网

我们先从曲面的基本参数化开始。设曲面 \(S\) 由参数方程 \(\mathbf{r}(u,v)\) 给出，其中 \(u\) 和 \(v\) 是曲纹坐标。

1. 曲面的切平面与切向量

   • 在曲面上一点 \(P\)，沿 \(u\)-曲线（固定 \(v\)）的切向量为 \(\mathbf{r}_u = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\)，沿 \(v\)-曲线的切向量为 \(\mathbf{r}_v = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\)。
   • 这两个向量张成曲面在 \(P\) 点的切平面 \(T_P S\)。

2. 曲面的第一基本形式与第二基本形式

   • 第一基本形式：\(I = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2\)，其中 \(E = \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_u\)，\(F = \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_v\)，\(G = \mathbf{r}_v \cdot \mathbf{r}_v\)。
   • 第二基本形式：\(II = L\,du^2 + 2M\,du\,dv + N\,dv^2\)，其中 \(L = \mathbf{r}_{uu} \cdot \mathbf{n}\)，\(M = \mathbf{r}_{uv} \cdot \mathbf{n}\)，\(N = \mathbf{r}_{vv} \cdot \mathbf{n}\)，\(\mathbf{n}\) 是单位法向量。

3. 曲面的共轭方向

   • 在切平面 \(T_P S\) 中，两个方向 \(du:dv\) 和 \(\delta u:\delta v\) 称为共轭的，如果它们满足：

\[ L\,du\,\delta u + M(du\,\delta v + dv\,\delta u) + N\,dv\,\delta v = 0。 \]

• 这个条件来自第二基本形式，几何上表示两个方向的“法曲率”在某种意义下相互关联。

4. 共轭网的定义
   • 如果曲面上有两族曲线，使得在每一点，一族曲线的切方向与另一族曲线的切方向共轭，则这两族曲线构成一个共轭网。
   • 数学上，设曲线族为 \(u\)-曲线和 \(v\)-曲线。如果对任意点，\(\mathbf{r}_u\) 方向与 \(\mathbf{r}_v\) 方向共轭，则参数网 \((u,v)\) 是共轭的。此时共轭条件简化为：

\[ M = 0。 \]

因为当 \(du=1, dv=0\) 和 \(\delta u=0, \delta v=1\) 时，共轭条件化为 \(M = 0\)。

5. 共轭网的几何意义

   • 在共轭网中，一族曲线的“弯曲”信息由另一族曲线的法曲率所“平衡”。例如，在渐近曲线（\(II=0\)）中，如果两族渐近曲线存在，它们自动共轭（因为 \(L=N=0\)，共轭条件化为 \(M=0\)）。
   • 另一个例子：曲率线网是正交的共轭网（因为曲率线方向是主方向，而主方向共轭且正交）。

6. 共轭网的存在性与构造

   • 给定曲面，共轭网不一定存在，但局部上总可以通过解二阶偏微分方程构造共轭参数。
   • 如果曲面无脐点，则主方向场给出一个正交共轭网（曲率线网）。
   • 更一般地，通过解方程 \(\frac{\partial^2 \theta}{\partial u \partial v} = \cdots\)（具体形式依赖于 \(E,F,G,L,M,N\)）可以找到使 \(M=0\) 的新参数。

7. 应用与例子

   • 在建筑学中，共轭网用于设计弯曲结构，如薄壳屋顶，因为力流方向沿共轭网分布可优化应力。
   • 在计算机图形学中，共轭网用于曲面网格划分，使网格线顺应曲面的主要弯曲方向。