外微分
让我从基础概念开始，循序渐进地讲解外微分这一重要概念。
第一步：从微分形式谈起
在多元微积分中，我们熟悉了标量函数f: ℝⁿ → ℝ的微分df。外微分理论将这一概念推广到更一般的对象——微分形式上。
一个k-微分形式是形如ω = Σ f_I(x) dx_{i₁} ∧ dx_{i₂} ∧ ⋯ ∧ dx_{i_k}的表达式，其中：
- I = (i₁, i₂, ..., i_k)是多重指标，1 ≤ i₁ < i₂ < ⋯ < i_k ≤ n
- f_I是光滑函数
- ∧ 是外积（楔积）符号
特别地：
- 0-形式就是光滑函数f
- 1-形式形如f₁dx₁ + f₂dx₂ + ⋯ + f_ndx_n
- 2-形式形如Σ f_{ij} dx_i ∧ dx_j
第二步：外积的基本性质
外积∧是满足以下性质的运算：
- 反交换性：dx_i ∧ dx_j = -dx_j ∧ dx_i
- 零积性：dx_i ∧ dx_i = 0
- 结合性：(α ∧ β) ∧ γ = α ∧ (β ∧ γ)
- 分配性：α ∧ (β + γ) = α ∧ β + α ∧ γ
这些性质意味着dx_i ∧ dx_j = 0当i = j，且交换两个1-形式会改变符号。
第三步：外微分算子的定义
外微分d是一个将k-形式映射到(k+1)-形式的线性算子：
对于0-形式（函数）f：df = Σ (∂f/∂x_i) dx_i
对于k-形式ω = Σ f_I dx_{i₁} ∧ ⋯ ∧ dx_{i_k}：
dω = Σ df_I ∧ dx_{i₁} ∧ ⋯ ∧ dx_{i_k}
= Σ (Σ ∂f_I/∂x_j dx_j) ∧ dx_{i₁} ∧ ⋯ ∧ dx_{i_k}
第四步：外微分的关键性质
-
d² = 0：对任何微分形式ω，有d(dω) = 0
这个性质是经典向量分析中∇×∇f = 0和∇·(∇×F) = 0的推广 -
莱布尼茨规则：d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (-1)^k ω ∧ dη
其中ω是k-形式，η是任意微分形式 -
与拉回映射交换：如果φ: M → N是光滑映射，则d(φω) = φ(dω)
第五步：具体计算示例
考虑ℝ³中的例子：
- 0-形式f(x,y,z)：df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy + (∂f/∂z)dz
- 1-形式ω = Pdx + Qdy + Rdz：
dω = (∂R/∂y - ∂Q/∂z)dy∧dz + (∂P/∂z - ∂R/∂x)dz∧dx + (∂Q/∂x - ∂P/∂y)dx∧dy - 2-形式η = Pdy∧dz + Qdz∧dx + Rdx∧dy：
dη = (∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z)dx∧dy∧dz
第六步：与经典向量分析的联系
在ℝ³中，外微分统一了梯度、旋度和散度：
- 0-形式的外微分 ↔ 梯度
- 1-形式的外微分 ↔ 旋度
- 2-形式的外微分 ↔ 散度
经典的积分定理（斯托克斯定理、散度定理）都可以统一表述为：
∫M dω = ∫∂M ω
第七步：庞加莱引理
如果ω是闭形式（即dω = 0），那么在局部上存在形式η使得ω = dη。这个结果在de Rham上同调理论中起基础性作用，建立了微分形式与拓扑之间的联系。