可测函数的等度可积性与一致可积性的关系

字数 973 2025-11-23 02:16:06

可测函数的等度可积性与一致可积性的关系

我们先从一致可积性的定义开始。设$(X,\mathcal{F},\mu)$是一个测度空间，$\{f_n\}$是一族可测函数。如果对任意$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$，使得对任意可测集$A$满足$\mu(A)<\delta$时，有

\[\sup_n\int_A |f_n|d\mu<\varepsilon, \]

则称$\{f_n\}$是一致可积的。

接下来考虑等度可积性。如果对任意$\varepsilon>0$，存在$X$的可测子集$E$使得$\mu(E)<\infty$，且

\[\sup_n\int_{X\setminus E}|f_n|d\mu<\varepsilon, \]

则称$\{f_n\}$是等度可积的。

现在我们来分析两者的关系。在有限测度空间上，一致可积性蕴含等度可积性，这是因为我们可以取$E=X$，此时$\mu(X\setminus E)=0$，自然满足等度可积性的条件。

但在无限测度空间上，情况有所不同。一致可积性要求函数在任意小测度集上的积分一致小，而等度可积性只要求函数在"充分远处"（即某个有限测度集之外）的积分一致小。

一个重要的事实是：在$\sigma$-有限测度空间上，如果$\{f_n\}$是一致可积的，那么它也是等度可积的。证明思路是：由于空间是$\sigma$-有限的，我们可以找到一列有限测度集$E_k$满足$E_k\uparrow X$，然后利用一致可积性证明等度可积性。

反过来，等度可积性不一定蕴含一致可积性。考虑反例：在实数直线$\mathbb{R}$上，取$f_n(x)=\frac{1}{n}\chi_{[0,n]}(x)$，这里$\chi_A$表示集合$A$的示性函数。这个函数族是等度可积的，但不是一致可积的。

一个深刻的结果是：在概率空间（即$\mu(X)=1$）上，等度可积性与一致可积性是等价的。这是因为在有限测度空间上，我们可以利用测度的有限性来证明两个概念的等价性。

最后，我们考虑一个重要的应用：在证明$L^1$收敛定理时，一致可积性条件可以保证依测度收敛蕴含$L^1$收敛。而等度可积性在更一般的测度空间中起着类似的作用，它保证了函数不会在无穷远处"丢失质量"。

可测函数的等度可积性与一致可积性的关系我们先从一致可积性的定义开始。设$(X,\mathcal{F},\mu)$是一个测度空间，$\{f_ n\}$是一族可测函数。如果对任意$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$，使得对任意可测集$A$满足$\mu(A) <\delta$时，有 $$\sup_ n\int_ A |f_ n|d\mu <\varepsilon,$$ 则称$\{f_ n\}$是一致可积的。接下来考虑等度可积性。如果对任意$\varepsilon>0$，存在$X$的可测子集$E$使得$\mu(E) <\infty$，且 $$\sup_ n\int_ {X\setminus E}|f_ n|d\mu <\varepsilon,$$ 则称$\{f_ n\}$是等度可积的。现在我们来分析两者的关系。在有限测度空间上，一致可积性蕴含等度可积性，这是因为我们可以取$E=X$，此时$\mu(X\setminus E)=0$，自然满足等度可积性的条件。但在无限测度空间上，情况有所不同。一致可积性要求函数在任意小测度集上的积分一致小，而等度可积性只要求函数在"充分远处"（即某个有限测度集之外）的积分一致小。一个重要的事实是：在$\sigma$-有限测度空间上，如果$\{f_ n\}$是一致可积的，那么它也是等度可积的。证明思路是：由于空间是$\sigma$-有限的，我们可以找到一列有限测度集$E_ k$满足$E_ k\uparrow X$，然后利用一致可积性证明等度可积性。反过来，等度可积性不一定蕴含一致可积性。考虑反例：在实数直线$\mathbb{R}$上，取$f_ n(x)=\frac{1}{n}\chi_ {[ 0,n]}(x)$，这里$\chi_ A$表示集合$A$的示性函数。这个函数族是等度可积的，但不是一致可积的。一个深刻的结果是：在概率空间（即$\mu(X)=1$）上，等度可积性与一致可积性是等价的。这是因为在有限测度空间上，我们可以利用测度的有限性来证明两个概念的等价性。最后，我们考虑一个重要的应用：在证明$L^1$收敛定理时，一致可积性条件可以保证依测度收敛蕴含$L^1$收敛。而等度可积性在更一般的测度空间中起着类似的作用，它保证了函数不会在无穷远处"丢失质量"。