平行四边形的仿射等价类 我们先从平行四边形的基本定义开始。平行四边形是两组对边分别平行的四边形。在仿射几何中，两个图形如果可以通过一个仿射变换相互转换，则称它们是仿射等价的。 现在考虑所有平行四边形构成的集合。在这个集合上，我们可以定义一个等价关系：两个平行四边形属于同一个仿射等价类，当且仅当存在一个仿射变换将其中一个映射为另一个。 为了理解这个等价关系，我们需要先明确平行四边形的哪些几何性质在仿射变换下保持不变。面积比不是不变的，因为仿射变换可以改变面积。但是，边的平行性、对角线交点的性质、对边之比等是仿射不变量。 具体来说，对于任意平行四边形，我们都可以通过适当的仿射变换将其变为一个矩形。进一步地，通过缩放变换，我们可以将这个矩形变为一个单位正方形。这表明所有平行四边形实际上都属于同一个仿射等价类。 这个结论可能令人惊讶，因为它意味着从仿射几何的角度来看，所有平行四边形都是"相同"的。正方形、矩形、菱形、一般的平行四边形，在仿射几何中没有区别。 理解平行四边形的仿射等价类有助于我们认识到，许多我们认为不同的几何形状，在更一般的变换群下可能是等价的。这种观点在计算机图形学、机器视觉和几何建模中有着重要应用，因为它允许我们在最简单的代表（如单位正方形）上进行分析，然后将结果推广到所有仿射等价的形状。